Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)
Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).
\(f\left(x\right)=3x^2+\frac{8}{x}=3x^2+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}\ge3\sqrt[3]{3x^2.\frac{4}{x}.\frac{4}{x}}=6\sqrt[3]{6}\)
Dấu \(=\)khi \(3x^2=\frac{4}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\).
y = (x² - 1)(x + 3)(x + 5)
= [(x - 1)(x + 5)].[(x + 1)(x + 3)]
= (x² + 4x - 5)(x² + 4x + 3)
= [x² + 4x - 1) - 4].[(x² + 4x - 1) + 4]
= (x² + 4x - 1)² - 16 ≥ - 16
- Khi x = 0 ⇒ y = - 15
- Khi x = 1 ⇒ y = 0
- Khi x² + 4x - 1 = 0 ⇔ x = √5 - 2 ( loại giá trị x = - √5 - 2 < 0) ⇒ y = - 16
Vậy trên đoạn [0; 1] thì :
GTNN của y = - 16 khi x = √5 - 2
GTLN của y = 0 khi x = 1
\(h\left(x\right)=x^2-4x+5+m\)
\(g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|=\left|f\left(x\right)+m\right|=\left|x^2-4x+5+m\right|\)
\(h\left(0\right)=5+m;h\left(4\right)=5+m;h\left(2\right)=1+m\)
TH1: \(1+m>0\Leftrightarrow m>-1\)
\(max=5+m=9\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)
TH2: \(5+m< 0\Leftrightarrow m< -5\)
\(max=-1-m=9\Leftrightarrow m=-10\left(tm\right)\)
TH3: \(5+m>0>1+m\Leftrightarrow-5< m< -1\)
Nếu \(5+m< -1-m\Leftrightarrow m< -3\)
\(max=-1-m=9\Leftrightarrow m=-10\left(tm\right)\)
Nếu \(5+m=-1-m\Leftrightarrow m=-3\)
\(max=5+m=2\ne9\)
\(\Rightarrow m=-3\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Nếu \(5+m>-1-m\Leftrightarrow m>-3\)
\(max=5+m=9\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)
Vậy \(m=4;m=-10\)
\(f\left(x\right)\ge\dfrac{\left(\sqrt{2}+2\right)^2}{x+2-x}-1=2+2\sqrt{2}\)
\(f\left(x\right)_{min}=2+2\sqrt{2}\) khi
\(x=2\sqrt{2}-2\)
\(P\left(x\right)=3x^2-\left[3f\left(x\right)+1\right]x+3-f\left(x\right)=0\left(1\right)\)
Phương trình (1) có nghiệm thuộc \(\left(0;\frac{2}{3}\right)\) khi:
\(\hept{\begin{cases}\Delta=9f^2\left(x\right)+18f\left(x\right)-35\ge0\\P\left(0\right)=3-f\left(x\right)>0\\P\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{11}{3}-3f\left(x\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(x\right)\le\frac{-3-2\sqrt{11}}{3}\left(h\right)f\left(x\right)\ge\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\\f\left(x\right)< 3\\f\left(x\right)< \frac{11}{9}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\in(-\infty;\frac{-3-2\sqrt{11}}{3}]\)U\([\frac{-3+2\sqrt{11}}{3};\frac{11}{9})\)
Dễ thấy \(f\left(x\right)>0\forall x\in\left(0;\frac{2}{3}\right)\). Suy ra \(\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\le f\left(x\right)< \frac{11}{9}\)
Vậy \(minf\left(x\right)=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\), đạt được khi \(x=\frac{-1+\sqrt{11}}{3}.\)
\(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1\)
\(f\left(x\right)_{min}=2\sqrt{2}+1\)
Ta có: \(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)
Vì x > 1 nên x - 1 > 0 và \(\dfrac{2}{x-1}>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương \(x-1;\dfrac{2}{x-1}\) ta được:
\(x-1+\dfrac{2}{x-1}\ge2.\sqrt{x-1.\dfrac{2}{x-1}}=2\sqrt{2}\)
\(=>f\left(x\right)=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{2}+1\)
⇒ Giá trị bé nhất của f(x) là 2√2 + 1 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = \(\dfrac{2}{x-1}\) và x > 1 ⇔ x = 1 + √2
\(f\left(x\right)=x\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)
1/ Đề đúng phải là \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất nhé.
Áp dụng BĐT BCS , ta có
\(1=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right]\left(2x^2+3y^2\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+3y^2\ge\frac{1}{5}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}\\2x+3y=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{5}\)
Vậy \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất bằng 1/5 khi x = y = 1/5
2/ Áp dụng bđt AM-GM dạng mẫu số ta được
\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{y}\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\end{cases}\)
Vậy ......................................
\(f\left(x\right)=4x+\frac{3}{\left(x+1\right)^2}=2x+2+2x+2+\frac{3}{\left(x+1\right)^2}-4\ge3\sqrt[3]{\left(2x+2\right)^2.\frac{3}{\left(x+1\right)^2}}-4\)
\(=3\sqrt[3]{48}-4\)
Dấu \(=\)khi \(2x+2=\frac{3}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1\).