Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(sin^2x+sin^2\left(90^0-x\right)=sin^2x+cos^2x=1\)
Do đó:
\(sin^210+sin^220+...+sin^270+sin^280\)
\(=\left(sin^210+sin^280\right)+\left(sin^220+sin^270\right)+...+\left(sin^240+sin^250\right)\)
\(=1+1+1+1=4\)
Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\Delta ABC\) có \(\widehat{A}=90^0\).
Khi đó ta có \(sinB=cosC\)
\(\Rightarrow sin^2A+sin^2B+sin^2C=1+cos^2C+sin^2C=2\)
\(VT=sin^2A+sin^2B+sin^2C=\frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}+1-cos^2C\)
\(=2-\left(cos2A+cos2B\right)-cos^2C=2-cos\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)-cos^2C\)
\(=2+cosC.cos\left(A-B\right)-cos^2C\)
Mà ABC là tam giác nhọn \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosC>0\\0< cos\left(A-B\right)\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow cosC.cos\left(A-B\right)\le cosC\)
\(\Rightarrow VT\le2+cosC-cos^2C=\frac{9}{4}-\left(cosC-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi ABC là tam giác đều
P/s: BĐT của bạn bị ngược chiều
