Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\S=\frac{1}{2}ac.sinB\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\sinB=\frac{2S}{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow cotB=\frac{cosB}{sinB}=\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right).ac}{2ac.2S}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)
b/ Tương tự: \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ; \(cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)
\(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
Ta có:
\(cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\dfrac{2S}{bc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)
Tương tự...
Thay vào đề bài:
\(2\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\right)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)
\(\Rightarrow4b^2=a^2+c^2-b^2\Rightarrow5b^2=a^2+c^2\)
\(\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{a^2+c^2-\dfrac{a^2+c^2}{5}}{2ac}=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)}{5ac}\ge\dfrac{4ac}{5ac}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Rightarrow sinB=\sqrt{1-cos^2B}\le\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)
Em kiểm tra lại đề, BĐT đề bài bị ngược dấu
Từ C kẻ đường cao CH xuống đáy AB
\(cotA+cotB=\dfrac{AH}{CH}+\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB}{CH}\)
Mà \(cotA+cotB=\dfrac{a^2+b^2}{2S}=\dfrac{AC^2+BC^2}{AB.CH}\)
=> \(\dfrac{AB}{CH}=\dfrac{AC^2+BC^2}{AB.CH}\)
=> AB2 = AC2 + BC2
=> tam giác ABC vuông tại C
\(cotA+cotB=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{2S}{bc}}+\dfrac{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{\dfrac{2S}{ac}}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{c^2}{2S}\)
Mà theo giả thiết \(cotA+cotB=\dfrac{a^2+b^2}{2S}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2S}=\dfrac{c^2}{2S}\Rightarrow a^2+b^2=c^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A theo Pitago đảo
* Diện tích tam giác ABC là: S = 1 2 b c . sin A ⇒ 4 S = 2 b c sin A
cot A = cosA sin A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c sin A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c . s i n A = b 2 + c 2 − a 2 4 S
* Tương tự, ta có: cot B = a 2 + c 2 − b 2 4 S ; cot C = a 2 + b 2 − c 2 4 S
* Do đó,
cot A + cot B + cot C = b 2 + c 2 − a 2 4 S + a 2 + c 2 − b 2 4 S + a 2 + b 2 − c 2 4 S = a 2 + b 2 + c 2 4 S
ĐÁP ÁN B