Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.
Lại có:
+ O là trọng tâm tam giác nên 
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Ta có: NA2 + NB2 + NC2 ngắn nhất
⇔ NO2 ngắn nhất vì R không đổi
⇔ NO ngắn nhất
⇔ N là hình chiếu của O trên d.
Do M thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng \(M\left(3t;2-t\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(3t-1;-t\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(3t+3;-t-3\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(P=MA^2+MB^2=\left(3t-1\right)^2+\left(-t\right)^2+\left(3t+3\right)^2+\left(-t-3\right)^2\)
\(P=20t^2+18x+19=20\left(t+\dfrac{9}{20}\right)^2+\dfrac{299}{20}\ge\dfrac{299}{20}\)
Dấu = xảy ra khi \(t=-\dfrac{9}{20}\Rightarrow M\left(-\dfrac{27}{20};\dfrac{49}{20}\right)\)
\(M\in\left(d\right)\Rightarrow M\left(a;a+6\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(a+4\right)^2}=\sqrt{2\left(a+1\right)^2+18}\\MB=\sqrt{\left(a-3\right)^2+\left(a+6\right)^2}=\sqrt{2\left(a+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{81}{2}}=\sqrt{2\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)^2+\dfrac{81}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MA+MB=\sqrt{\sqrt{2}^2\left(a+1\right)^2+18}+\sqrt{\sqrt{2}^2\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)^2+\dfrac{81}{2}}\ge\sqrt{\left(\sqrt{2}.a+\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{2}-\sqrt{2}.a\right)^2+\left(\sqrt{18}+\sqrt{\dfrac{81}{2}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{225}{2}}=\sqrt{133}\)
\(dấu"="xayra\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(a+1\right)}{\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)}{\sqrt{\dfrac{81}{2}}}\Leftrightarrow a=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};\dfrac{24}{5}\right)\)
Câu 3:
Đường tròn tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)
Xét đường thẳng d có pt: \(x+y-T=0\)
Để (d) và (C) có điểm chung M
\(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)\le R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|1+2-T\right|}{\sqrt{1^2+1}^2}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|T-3\right|\le2\Rightarrow T\le5\)
\(\Rightarrow T_{max}=5\) khi (d) tiếp xúc (P)
Giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x-4y+3=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\) ta được \(M\left(2;3\right)\)
Câu 1:
Gọi \(C\left(1;0\right)\Rightarrow OC=1;OA=4\)
Với M là điểm bất kì thuộc (C) \(\Rightarrow OM=R=2\)
Xét hai tam giác OCM và OMA có:
\(\widehat{MOC}\) chung
\(\frac{OC}{OM}=\frac{OM}{OA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta OCM\sim\Delta OMA\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{OM}{OC}=2\Rightarrow AM=2CM\)
\(\Rightarrow P=MA+2MB=2CM+2MB=2\left(BM+CM\right)\ge2BC\)
\(\Rightarrow P_{min}=2BC\) khi M;B;C thẳng hàng hay M là giao điểm của đoạn thẳng BC và (C)
\(\overrightarrow{CB}=\left(2;4\right)=2\left(1;2\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2t\end{matrix}\right.\)
Tọa độ M thỏa mãn:
\(\left(1+t\right)^2+\left(2t\right)^2=4\)
Bạn tự giải nốt (chỉ lấy nghiệm M nằm giữa B và C)
Câu 2: hoàn toàn tương tự câu 1, gọi \(C\left(0;1\right)\Rightarrow\frac{OC}{OM}=\frac{OM}{OA}=\frac{1}{3}\Rightarrow...\)
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1-t\end{matrix}\right.\)
M thuộc d nên tọa độ có dạng \(M\left(t;1-t\right)\)
Khoảng cách từ M đến \(\Delta\): \(\dfrac{\left|4t+3\left(1-t\right)+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|t+4\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=-14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(6;-5\right)\\M\left(-14;15\right)\end{matrix}\right.\)
a/ Gọi K (hay L gì đó) có tọa độ \(K\left(0;y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(-5;y-10\right)\end{matrix}\right.\)
Do AB//CK \(\Leftrightarrow\frac{-5}{4}=\frac{y-10}{3}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\) \(\Rightarrow K\left(0;\frac{25}{4}\right)\)
b/ Gọi \(J\left(x;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{JA}=\left(-1-x;2\right)\) ; \(\overrightarrow{JB}=\left(3-x;5\right)\); \(\overrightarrow{JC}=\left(5-x;10\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+4\overrightarrow{JC}=\left(13-3x;32\right)\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+4\overrightarrow{JC}\right|=\sqrt{\left(13-3x\right)^2+32^2}\ge32\)
\(T_{min}=32\) khi \(13-3x=0\Leftrightarrow x=\frac{13}{3}\Rightarrow J\left(\frac{13}{3};0\right)\)
c/ Gọi \(Q\left(0;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AQ}=\left(1;y-2\right)\\\overrightarrow{QC}=\left(5;10-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=AQ+CQ=\sqrt{1^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{5^2+\left(10-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow T\ge\sqrt{\left(1+5\right)^2+\left(y-2+10-y\right)^2}=10\)
\(T_{min}=10\) khi \(\frac{y-2}{1}=\frac{10-y}{5}\Leftrightarrow y=\frac{10}{3}\Rightarrow Q\left(0;\frac{10}{3}\right)\)
d/ Gọi \(P\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AP}=\left(x+1;-2\right)\\\overrightarrow{PB}=\left(3-x;5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=PA+PB=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+5^2}\)
\(\Rightarrow T\ge\sqrt{\left(x+1+3-x\right)^2+\left(-2+5\right)^2}=5\)
\(T_{min}=5\) khi \(\frac{x+1}{-2}=\frac{3-x}{5}\Rightarrow x=-\frac{11}{3}\Rightarrow P\left(-\frac{11}{3};0\right)\)
Bạn ơi (d) này đâu ra vậy?
Chắc là N? Vì M mà sao đằng sau lại là \(NA^2+NB^2\)?
Do N thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng \(N\left(6t;4t+2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AN}=\left(6t-1;4t\right)\\\overrightarrow{BN}=\left(6t+3;4t-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow NA^2+NB^2=\left(6t-1\right)^2+16t^2+\left(6t+3\right)^2+\left(4t-3\right)^2=104t^2+19\ge19\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=0\Rightarrow N\left(0;2\right)\)