K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
1
T
1 tháng 8 2017
Vì \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\)
Ta có \(\dfrac{a^2-b^2}{ab}=\dfrac{c^2-d^2}{cd}\)
\(\Leftrightarrow a^2cd-b^2cd=c^2ab-d^2ab=0\)
\(\Leftrightarrow ad.ac-bc.bd-ca.bc+ad.bd=0\) (1)
Thay \(ad=bc\) ta được
\(\left(1\right)\Leftrightarrow bc.ac-bc.bd-ca.bc+bc.bd=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc.ac-ca.bc\right)+\left(bc.bd-bc.bd\right)=0\) (luôn đúng)
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{a^2-b^2}{ab}=\dfrac{c^2-d^2}{cd}\) (đpcm)
3 tháng 9 2020
Bài 1 :
- Lấy điểm D đối xứng với A qua BC .
Mà tam giác ABC đều .
=> Tứ giác ABCD là hình thoi
=> Tứ giác ABCD là hình bình hành .
=> \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\)
Ta có : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\)
Ta có : Tứ giác ABCD là hình bình hành ( cmt )
=> \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}\)
=> \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}\)
Ta có : \(AD=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|=2AM\) ( Tứ giác ABCD là hình thoi )
Ta có : M là trung điểm BC .
=> \(BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\)
- Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác AMB vuông tại M .
=> \(AM^2+\frac{a^2}{4}=a^2\)
=> \(2AM=2\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=2\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=2\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=a\sqrt{3}\)
b, Ta có : M, N là trung điểm của BC và AC .
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)
=> \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\)
- Lấy E đối xứng với B qua DC .
CMTT : Ta được : \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BE}\)
Mà \(\left|\overrightarrow{BE}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\)
=> \(\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{BN}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Bài 2 :
ĐT <=> \(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}\)
<=> \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) ( đpcm )
HP
15 tháng 12 2020
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+bc+cd+da\)
\(\Leftrightarrow bc+da\ge2\sqrt{abcd}\)
\(\Leftrightarrow bc+da-2\sqrt{abcd}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{bc}-\sqrt{da}\right)^2\ge0\) đúng \(\forall a,b,c,d>0\)
HQ
4 tháng 8 2019
1) Ta có:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}\)
\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}\left(đpcm\right)\)2) a) Ta có: \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}\)\(=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}\)
\(=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\left(đpcm\right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\left(đpcm\right)\)c) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\) ( đề bài bị lỗi gì à ?? :v ) hay do mình =))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2020
Câu 1:
\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(P=c^2-2ac+a^2+d^2-2bd+b^2-\left(a^2+b^2\right)\)
\(P=\left(c-a\right)^2+\left(d-b\right)^2-1\ge\frac{1}{2}\left(c-a+d-b\right)^2-1\)
\(P\ge\frac{1}{2}\left(6-\sqrt{2}\right)^2-1=18-6\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\c=d=3\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2020
Câu 2:
Gọi \(B\in d_1\Rightarrow B\left(a;2-a\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(a-2;-a\right)\)
\(C\in d_2\Rightarrow C\left(c;8-c\right)\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(c-2;6-c\right)\)
Để tam giác ABC vuông cân tại A thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\\AB^2=AC^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)\left(c-2\right)-a\left(6-c\right)=0\\\left(a-2\right)^2+a^2=\left(c-2\right)^2+\left(6-c\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac-4a-c+2=0\\a^2-2a=c^2-8c+18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(c-4\right)=2\\\left(a-1\right)^2=\left(c-4\right)^2+3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3;c=5\\a=-1;c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(3;-1\right);C\left(5;3\right)\\B\left(-1;3\right);C\left(3;5\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)-->ad<bc (b,d>0)
Gỉa sử \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{ab+cd}{b^2+d^2}\) đúng
a (b2+d2)<b(ab+cd) (b,d>0)
<=> ab2+ad2<ab2+bcd
<=> ad2-bcd<0
<=> d(ad-bc)<0 (*)
mà d>0; ad<bc(cmt)--> ad-bc<0
nên (*) đúng.
cm tiếp vế kia cũng như thế rồi kết luận