Question

[Khôi Nguyên Hacker Man]

chứng minh rằng:

2+2³+2⁵+...+2⁶⁰ chia hết 3,7,15

1+4+4²+4³+...+4^{59 chia hết cho 5,21,85}

Answer 1

[Lê Quang Phúc]

Bạn ơi, sao 2³ + 2⁵ mà lại tới 2⁶⁰?

\(1+4+4^2+4^3+...+4^{59}\)

\(=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+...+\left(4^{58}+4^{59}\right)\)

\(=\left(1+4\right)+4^2.\left(1+4\right)+...+4^{58}.\left(1+4\right)\)

\(=5+4^2.5+...+4^{58}.5\)

\(=5.\left(1+4^2+...+4^{58}\right)⋮5\)

\(\Rightarrow1+4+4^2+4^3+...+4^{59}⋮5\)

\(1+4+4^2+4^3+...+4^{59}\)

\(=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{57}+4^{58}+4^{59}\right)\)

\(=\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{57}.\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21+4^3.21+...+4^{57}.21\)

\(=21.\left(1+4^3+...+4^{57}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow1+4+4^2+4^3+...+4^{59}⋮21\)

\(1+4+4^2+4^3+...+4^{59}\)

\(=\left(1+4+4^2+4^3\right)+...+\left(4^{56}+4^{57}+4^{58}+4^{59}\right)\)

\(=\left(1+4+4^2+4^3\right)+...+4^{56}.\left(1+4+4^2+4^3\right)\)

\(=85+...+4^{56}.85\)

\(=85.\left(1+...+4^{56}\right)\)