tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x^2+y^2+z^2=2xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 7 2021
Lời giải:
$2xyz=x+y+z$
$2=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}$
Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
$\Rightarrow xy\geq xz\geq yz$
$\Rightarrow \frac{1}{xy}\leq \frac{1}{xz}\leq \frac{1}{yz}$
$\Rightarrow 2\leq \frac{3}{yz}$$
$\Rightarrow yz\leq \frac{3}{2}$. Mà $yz$ nguyên dương nên $yz=1$
$\Rightarrow y=z=1$. Thay vào pt ban đầu:
$2x=x+2$
$x=2$
Vậy $(x,y,z)=(2,1,1)$ và hoán vị.
NT
0
NT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 7 2021
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).
Khi đó ta có: \(13=xyz+x^2+y^2+z^2\ge z^3+3z^2\)
suy ra \(z=1\).
\(12=xy+x^2+y^2\ge y^2+y^2+y^2=3y^2\)
\(\Rightarrow y=1\)hoặc \(y=2\).
Với \(y=1\): \(x^2+1+1+x=13\Leftrightarrow x^2+x-11=0\)không có nghiệm nguyên dương.
Với \(y=2\): \(x^2+2^2+1^2+1.2.x=13\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Rightarrow x=2\)thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là \(\left(1,2,2\right)\)và các hoán vị.
Y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)
\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)
\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)
Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)
NV
0
PG
1
\(x^2+y^2+z^2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\z=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\z=0\end{array}\right.\)
2xyz chứ có phải 2xy đâu :)