Câu hỏi của Nguyễn Thị Minh Thảo

Question

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 7n  + 147 là số chính phương.

Nguyễn Linh Chi · Accepted Answer

Vì $7^n+147$ là số chính phương => Đặt: $7^n+147$ với a là số nguyên khi đó ta có: $7^n+147=a^2$không mất tính tổng quát g/s a nguyên dươngmà: n là số tự nhiên nên $7^n⋮7$; $147=7^2.3⋮7$=> $a^2⋮7$=> $a⋮7$=> $a^2⋮7^2$=> $7^n⋮7^2$=> n $\ge$2+) Với n = 2k khi đó: $k\ge1$Ta có: $7^{2k}+147=a^2$<=> $\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147$Vì: $\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}$Do đó: $\hept{\begin{cases}a+7^k=21\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1$=> n = 2 Thử lại thỏa mãn+) Với n = 2k + 1 ta có: $7^{2k+1}:4$ dư -1$147$: 4 dư 3=> $7^{2k+1}+147$ chia 4 dư 2 mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1 => Loại Vậy: n = 2Câu trả lời: Vì $7^n+147$ là số chính phương => Đặt: $7^n+147$ với a là số nguyên khi đó ta có: $7^n+147=a^2$không mất tính tổng quát g/s a nguyên dươngmà: n là số tự nhiên nên $7^n⋮7$; $147=7^2.3⋮7$=> $a^2⋮7$=> $a⋮7$=> $a^2⋮7^2$=> $7^n⋮7^2$=> n $\ge$2+) Với n = 2k khi đó: $k\ge1$Ta có: $7^{2k}+147=a^2$<=> $\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147$Vì: $\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}$Do đó: $\hept{\begin{cases}a+7^k=21\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1$=> n = 2 Thử lại thỏa mãn+) Với n = 2k + 1 ta có: $7^{2k+1}:4$ dư -1$147$: 4 dư 3=> $7^{2k+1}+147$ chia 4 dư 2 mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1 => Loại Vậy: n = 2

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP