Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
biểu thức trên nguyên khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+7}=m\\\sqrt{x^3+9}=n\end{cases}\text{ với m,n là các số tự nhiên}}\)
hay ta có : \(\hept{\begin{cases}m^2-x^2=7\\n^2-x^3=9\end{cases}}\Rightarrow\left(m-x\right)\left(m+x\right)=7\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+x=7\\m-x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=3\end{cases}}\)
thay x=3 thỏa mãn đề bài vậy x=3 là giá trị nguyên của x t/m
mình quên mất một ý nhỏ
còn trường hợp khác là :\(\hept{\begin{cases}m+x=1\\m-x=7\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=-3\end{cases}}}\) trường hợp này loại do điều kiện tồn tại của căn
\(VT=x\sqrt{y}+\frac{1}{2}y\sqrt{4\left(2x+2y\right)}\le\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{1}{2}y\left(\frac{4+2x+2y}{2}\right)\)
\(=\frac{2xy+2x}{4}+\frac{4y+2xy+2y^2}{4}=\frac{2\left(x+2y\right)+4xy+2y^2}{4}\)
\(=\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}.3y\left(2x+y\right)}{4}\le\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{2\left(x+2y\right)}{2}\right)^2}{4}\le3\) (*)
Đẳng thức xảy ra khi x= y = 1.
Is that true? Bài này khó nhằn đấy, Đối với mình việc nhìn ra chỗ (*) ko dễ chút nào, chả biết có tính sai gì ko nữa..
\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)
\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)
\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau
Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP
\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)
Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn
Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\)
Ta có:
\(x^2< x^2+8y\le x^2+8x< x^2+8x+16=\left(x+4\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+8y=\left(x+1\right)^2or\left(x+2\right)^2or\left(x+3\right)^2\)
PS: Vì e là CTV nên a chỉ gợi ý thôi nha. Phần còn lại e thử tự nghĩ xem sao nhé. A giải quyết cho e phần khó nhất rồi đấy :)
Anh Alibaba Nguyễn, giải tìm x ntn vậy, em mới tìm được y thôi
Đặt \(y=\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^3+9}\)
\(\Leftrightarrow y-\sqrt{x^2+7}=\sqrt{x^3+9}\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x^2+7}\right)^2=x^3+9\)
\(\Leftrightarrow y^2-2y\sqrt{x^2+7}+x^2+7=x^3+9\)
\(\Leftrightarrow y^2+x^2-x^3-2=2y\sqrt{x^2+7}\)
Ta thấy VT là số nguyên nên VP cũng phải là số nguyên
\(\Rightarrow x^2+7\)phải là số chính phương
Đặt \(x^2+7=z^2\)với z là số nguyên dương và z > x
\(\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(z-x\right)=7\)
Tới đây làm nốt nha