Question

[Cô Gái Mùa Đông]

Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn x(x²-6x +12)=y³+27

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

ta có :

\(x^3-6x^2+12x-8-y^3=19\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3-y^3=19\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-y\right)\left[\left(x-2\right)^2+y\left(x-2\right)+y^2\right]=19\)

vì \(\left(x-2\right)^2+y\left(x-2\right)+y^2\ge0\) và là ước của 19 nên ta có :

\(\hept{\begin{cases}x-2-y=1\\\left(x+2\right)^2+y\left(x+2\right)+y^2=19\end{cases}\Leftrightarrow x-2=y+1\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=19}\)

\(\Leftrightarrow3y^2+3y-18=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\Rightarrow x=5\\y=-3\Rightarrow x=0\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}x-2-y=19\\\left(x+2\right)^2+y\left(x+2\right)+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x-2=y+19\Rightarrow\left(y+19\right)^2+y\left(y+19\right)+y^2=19}\)

vô nghiệm .

Vậy \(\orbr{\begin{cases}y=2\Rightarrow x=5\\y=-3\Rightarrow x=0\end{cases}}\)