Question

[Đức Anh Gamer]

Giả sử n e N^* và \(n^2+n+3\)là số ngtố. C/m n chia 3 dư 1 và \(7n^2+6n+2017\) không là số chính phương

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Vì n là số nguyên dương nên \(n^2+n+3>3\). Gọi r là số dư khi chia n cho 3, \(r\in\left\{0,1,2\right\}\). Nếu r=0 hoặc r=2 thì \(n^2+n+3⋮3\)

Mẫu thuẫn với giả thiết \(n^2+n+3\)là số nguyên tố. Do đó r=1 hay n chia 3 dư 1. Khi đó \(7n^2+6n+2017\)chia 3 dư 2. Mà 1 số chính phương có số dư khi chia cho 3 là 0 hoặc 1 nên => đpcm

Answer 2

[๓เภђ ภوยץễภ ђảเ]

Ta có \(n\inℕ^∗\Rightarrow n\equiv0;1;2\left(mod3\right)\left(1\right)\) 

Nếu \(n\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv0\left(mod3\right)\) mà  \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)

=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )

=> \(n\equiv0\left(mod3\right)\) (loại)  (2)

Nếu \(n\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv9\equiv0\left(mod3\right)\) mà  \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)

=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )

=> \(n\equiv2\left(mod3\right)\)( loại)   (3)

Từ (1);(2);(3) => \(n\equiv1\left(mod3\right)\) 

Hay n chia 3 dư 1

Với \(n\equiv1\left(mod3\right)\) ta có

\(7n^2+6n+2017\equiv2030\equiv2\left(mod3\right)\) 

=> \(7n^2+6n+2017\) chia 3 dư 2

Lại có : Một số chính phương bất kì khi chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1 (5)

Từ (4);(5) => \(7n^2+6n+2017\) không phải là số chính phương (đpcm)