Câu hỏi của Nguyễn Như Quỳnh

Question

CMR:$10^n+18n-28⋮27$ với mọi n thuộc N

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Ta xét các TH sau:

TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$

$10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28$

Ta thấy:

$10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}$

$18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}$

$28\equiv 1\pmod {27}$

$\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)$

TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$

$10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10$

Ta thấy:

$10^{3k}\equiv 1\pmod {27} $ (cmt) $\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}$

$54k\equiv 0\pmod {27}$

$10\equiv 10\pmod {27}$

$\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)$

TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$

$10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)$

Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$Câu trả lời: Lời giải:

Ta xét các TH sau:

TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$

$10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28$

Ta thấy:

$10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}$

$18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}$

$28\equiv 1\pmod {27}$

$\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)$

TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$

$10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10$

Ta thấy:

$10^{3k}\equiv 1\pmod {27} $ (cmt) $\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}$

$54k\equiv 0\pmod {27}$

$10\equiv 10\pmod {27}$

$\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)$

TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$

$10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)$

Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$