Question

[Lê Hoài Duyên]

C/m rằng:

\(\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)với a, b, c khác nhau

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Đặt VT = K

Coi K là một đa thức theo biến x. Rõ ràng sau khi khai triển, đưa về dạng chính tắc, K sẽ là đa thức bậc hai đối với biến x.

Vì vậy giả sử \(K\left(x\right)=Ax^2+Bx+C\)

- Cho x = -a: \(Aa^2-Ba+C=1\)(1)

- Cho x = -b: \(Ab^2-Bb+C=1\)(2)

- Cho x = -c: \(Ac^2-Bc+C=1\)(3)

Lấy (1) - (2): \(A\left(a^2-b^2\right)-B\left(a-b\right)=0\)(4)

Vì a - b khác 0 \(\Rightarrow A\left(a+b\right)-B=0\)(5)

Lấy (4) - (5),ta được: \(A\left(a-c\right)=0\Rightarrow A=0\)(do a - c khác 0)

Từ (4) suy ra B = 0, do đó C = 1

Vậy K = 1 hay \(\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)(đpcm)