Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(59\equiv3\left(mod7\right)\Rightarrow59^n\equiv3^n\left(mod7\right)\)
Tương tự: \(17^n\equiv3^n\left(mod7\right)\) ; \(9^n\equiv2^n\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow A\equiv3^n-3^n-2^n+2^n\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow A⋮7\)
Vẫn tương tự, ta có: \(A\equiv4^n-2^n-4^n+2^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow A⋮5\)
Mà 7 và 5 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow A⋮35\)
Nhận xét: với mọi n nguyên thì \(n^2\equiv\left\{0;1;2;4\right\}\left(mod7\right)\)
Giả sử a;b tồn tại 1 số không chia hết cho 7
\(\Rightarrow a^2+b^2\equiv\left\{1;2;3;4;5;6;8\right\}\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\) luôn ko chia hết cho 7 (trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai hay \(a;b\) đều chia hết cho 7
Do \(2x^2-1\) luôn lẻ \(\Rightarrow y^3\) lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k-1\) với \(k>1\)
\(2x^2-1=\left(2k-1\right)^3=8k^3-12k^2+6k-1\)
\(\Rightarrow x^2=4k^3-6k^2+3k=k\left(4k^2-6k+3\right)\)
- Nếu \(k⋮3\Rightarrow x^2⋮3\Rightarrow x⋮3\)
- Nếu \(k⋮̸3\), gọi \(d=ƯC\left(4k^2-6k+3;k\right)\) với \(d\ne3\)
\(\Rightarrow4k^2-6k+3-k\left(4k-6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow4k^2-6k+3\) và \(k\) nguyên tố cùng nhau
Mà \(k\left(4k^2-6k+3\right)=x^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2=m^2\\4k^2-6k+3=n^2\end{matrix}\right.\)
Xét \(4k^2-6k+3=n^2\Rightarrow16k^2-24k+12=\left(2n\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(4k-3\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2n-4k+3\right)\left(2n+4k-3\right)=3\)
Giải pt ước số cơ bản này ta được nghiệm nguyên dương duy nhất \(k=1\) (không thỏa mãn \(k>1\))
Vậy \(x⋮3\)
Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)
\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7
\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Cám ơn thầy ạ !
Đây là 1 loạt những bài toán về chuyên đề đồng dư thức , thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em, em cám ơn ạ
