Cho x,y,z > 0. CMR: \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

LB

Lunox Butterfly Seraphim

8 tháng 9 2020

Cho x,y,z > 0. CMR: \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

1

AM

Ami Mizuno

8 tháng 9 2020

https://i.imgur.com/EZtihyp.jpg

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

DA

Đức Anh Phan

20 tháng 7 2017

Cho x, y, z > 0. CMR: x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

1

MD

Mỹ Duyên

20 tháng 7 2017

Biến đổi tương đương là ok mà

Ta có; \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

<=> \(2x+2y+2z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{yz}-2\sqrt{xz}\ge0\)

<=> \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{xz}+x\right)\ge0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

( Luôn đúng)

=> đpcm

Dấu = xảy ra <=> \(x=y=z\)

TN

Thắng Nguyễn

1 tháng 8 2016 - olm

Cho x,y,z>0. CMR:

\(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)

3

T

Tuấn

1 tháng 8 2016

ta sử dụng bđt :\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)(dk mọi abcd)
cái này cm dễ thôi. bunhia nha
ĐĂT :\(A=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{y\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
Áp dingj bđt trên ta được \(A\ge\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}+y+\frac{z}{2}+z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}+\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)^2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

ML

Mr Lazy

2 tháng 8 2016

\(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)

CB

Con Bò Nguyễn

18 tháng 6 2021

chứng minh (x+Y+Z\(\ge\)0 ) x + y + z \(\ge\) \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

2

Y

Yeutoanhoc

18 tháng 6 2021

`x+y+z>=0` là chưa đủ phải là `x,y,z>=0` mới đúng.

`x+y+z>=sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}`

`<=>2x+2y+2z>=2sqrt{xy}+2sqrt{yz}+2sqrt{zx}`

`<=>x-2sqrt{xy}+y+y-2sqrt{yz}+z+z-2sqrt{zx}+x>=0`

`<=>(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0` luôn đúng

Dấu `"="<=>x=y=z`

D

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

18 tháng 6 2021

Áp dụng bdt Co-si, ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)

=> 2(x+y+z) \(\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

=> đpcm

C

CCDT

15 tháng 1 2021

cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

2

TM

Trần Minh Hoàng

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\). (1)

Theo bđt Bunhiakowski:

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\).

Tương tự: \(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}\); \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\).

Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.

Vậy ta có đpcm.

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 1 2021

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

Tương tự:

\(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}\) ; \(\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

NT

Nguyễn Tất Đạt

1 tháng 8 2018 - olm

CMR: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)

Với x;y;z > 0.

1

TN

Thắng Nguyễn

1 tháng 8 2018

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:

\(VT=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\)

\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}+\sqrt{\left(x+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z+\frac{x+y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)^2}{4}+\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{4}}\)

\(=\sqrt{3\left(x+y+z\right)^2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)=VP\)

TT

Trần Thanh Hải

1 tháng 2 2019 - olm

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn x² + y² + z² = 3

CMR: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

2 tháng 2 2019

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)

Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:

\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)

\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

EC

EDOGAWA CONAN

6 tháng 1 2019

Cho x , y , z > 0 . CMR : \(3x+2y+4z\ge\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\)

1

N

Neet

6 tháng 1 2019

x=ay=bz

\(\sqrt{xy}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{x.ay}\le\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\left(x+ay\right)\)

\(3\sqrt{yz}=\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\sqrt{ay.bz}\le\dfrac{3}{2\sqrt{ab}}\left(ay+bz\right)\)

\(5\sqrt{xz}=\dfrac{5}{\sqrt{b}}.\sqrt{x.bz}\le\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\left(x+bz\right)\)

\(\Rightarrow VF\le x\left(\dfrac{1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\right)+y\left(\dfrac{\sqrt{a}+3\sqrt{a}}{2}\right)+z\left(\dfrac{3\sqrt{b}+5\sqrt{b}}{2}\right)\)

\(=x\left(\dfrac{1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\right)+y.2\sqrt{a}+z.4\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\sqrt{b}}{4}=\dfrac{2\sqrt{a}}{2}=\dfrac{\sqrt{b}+5\sqrt{a}}{6\sqrt{ab}}\Rightarrow a=b=1\)

troll dữ vậy .-.

FF

fan FA

6 tháng 1 2019 - olm

Cho x , y , z , > 0 . CMR \(3x+2y+4z\ge\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\)

1

KT

Không Tên

6 tháng 1 2019

Theo AM - GM ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(3y+3z\ge2\sqrt{3y.3z}=6\sqrt{yz}\)

\(5z+5x\ge2\sqrt{5z.5x}=10\sqrt{zx}\)

Cộng theo vế ta có: \(6x+4y+8z\ge2\sqrt{xy}+6\sqrt{yz}+10\sqrt{zx}\)

=> \(3x+2y+4z\ge\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

BD

Bùi Đức Anh

27 tháng 12 2020

Cho x,y,z >0 t/m x²+y²+z²=3.

C/m \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 1 2021

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24

AH

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 1 2021

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)

\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)

Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$

Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$

BĐT $(*)$ trở thành:

$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$

$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$

Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$

Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$