Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{2}{\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\frac{2}{9xy}+\frac{7}{9xy}\)
\(P\ge\frac{8}{4x^2y^2+2x^2+2y^2+4xy+5xy+1}+\frac{7}{9xy}\)
\(P\ge\frac{8}{4\left(\frac{x+y}{2}\right)^4+2\left(x+y\right)^2+\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+1}+\frac{28}{9\left(x+y\right)^2}=\frac{11}{9}\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=0\\x^2+y^2+\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=-x\left(x^2+y^2\right)\\-\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=x\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=0\left(\text{không thỏa mãn}\right)\\x^2+y^2-4=x\left(x+y-2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4=x^2+x\left(y-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y-2\right)=x\left(y-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\x=y+2\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt dưới:
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+8+2x+2x-4=0\\\left(y+2\right)^2+2y^2+y\left(y+2\right)+2\left(y+2\right)-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Câu b chắc chắn đề sai, nhìn 2 vế pt đầu đều có \(x^2\) thì chúng sẽ rút gọn, không ai cho đề như thế hết
Lời giải:
Thực hiện khai triển và rút gọn ta có:
$A=3x^2y^2+2x^4+2y^4-(x^2+y^2)=\frac{3}{2}(x^2+y^2)^2+\frac{x^4+y^4}{2}-(x^2+y^2)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4+y^4\geq 2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(\Rightarrow 2(x^4+y^4)\geq x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+y^2)^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}(x^2+y^2)^2+\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-(x^2+y^2)\)
Đặt $x^2+y^2=t$
Ta có: $t=x^2+y^2=\frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{1}{2}(x-y)^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{1}{2}$ do $x+y\geq 1$
Do đó: \(A\geq \frac{3}{2}t^2+\frac{t^2}{4}-t=\frac{7}{4}t^2-t=(t-\frac{1}{2})(\frac{7}{4}t-\frac{1}{8})-\frac{1}{16}\geq \frac{-1}{16}\) với mọi $t\geq \frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{-1}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
Sau vài phút cố gắng thì khẳng định đề bài của em bị sai
