Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(\widehat{ACB}>\widehat{ACD}\) trên BD lấy điểm E sao cho \(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)
Xét △ACD và △BCE có
\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)
(gt)
\(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CD}\))
Suy ra △ACD \(\sim\) △BCE(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}\Rightarrow BC.AD=AC.BE\)(1)
Xét △ACB và △DCE có
\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\)\(\widehat{BCE}+\widehat{ECA}=\widehat{ACD}+\widehat{ECA}\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DCE}\)
\(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{BC}\))
Suy ra △ACB \(\sim\) △DCE(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow AB.CD=AC.DE\)(2)
Cộng (1) và (2)\(\Leftrightarrow AB.CD+BC.AD=AC.BE+AC.DE=AC\left(BE+CE\right)=AC.BD\)
Vậy \(AB.CD+BC.AD=AC.BD\)
*Chứng minh AMNC là tứ giác nội tiếp.
Ta có AB=BD nên △ABD cân tại B.
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{BAD}\left(1\right)\)
Trong (O) có: \(\widehat{MAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AB.
\(\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB.
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ADB}\left(2\right)\)
Tứ giác ABCD nội tiếp có \(\widehat{BCN}\) là góc ngoài ở đỉnh C.
\(\Rightarrow\widehat{BCN}=\widehat{BAD}\left(3\right)\)
(1), (2), (3) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{BCN}\).
\(\Rightarrow\)AMNC nội tiếp.
*Chứng minh yêu cầu đề bài.
AMNC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACD}\) (\(\widehat{ACD}\) là góc ngoài ở đỉnh C).
Mà \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (ABCD nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABD}\) (đpcm)
Ta có: tỨ giác OCEA nội tiếp
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OEA}\)(1)
Vì OC=OB
=> Tam giác OBC cân
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)(2)
Tứ giác ODAB nội tiếp
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)( cùng bù với góc OBA) (3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OEA}\)
=> Tam giác ODE cân có OA là đươngcao
=> OA là đường trung tuyến
=> A là trung điểm của DE
b, tam giác MCB ~ tam giác MBA (g.g) => BC/BA =MC/MD (vì MB=MD <= t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)
tam giác MCD ~ tam giác MDA (g.g) => MC/MD= DC/AD (2)
Từ (1),(2) => BC/BA = DC/AD => BC.AD = DC.AB (đpcm)
bđt ptoleme nhé bạn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB
- Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
- Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
- Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.
- Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
- Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
- Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
- Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)
