Question

[Khanh Le Nguyen]

Cho tam giác ABC vuông tại A , trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm AC, E là điểm đối xứng với M qua D.
1. (0,5đ) Cho AB=6cm; AC=8cm . Tính AM ?
2. (1đ) Chứng minh tứ giác AMCE là hình thoi.
3. (0,5đ) Chứng minh tứ giác ABME là hình bình hành.

Answer 1

[Thanh Hoàng Thanh]

1. Xét tam giác ABC vuông tại A: 

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Định lý Pytago).

\(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\left(cm\right).\)

Xét tam giác ABC vuông tại A: AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.10=5\left(cm\right).\)

2. M là trung điểm của BC (AM là trung tuyến của tam giác ABC).

\(\Rightarrow\) \(MC=MB.\)

Mà \(AM=\dfrac{1}{2}BC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(MC=MB=AM=\dfrac{1}{2}BC.\)

Xét tứ giác AMCE: 

+ D là trung điểm AC (gt).

+ D là trung điểm ME (E là điểm đối xứng với M qua D).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCE là hình bình hành (dhnb).

Mà \(AM=MC\) (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCE là hình thoi (dhnb).

3. Tứ giác AMCE là hình thoi (cmt). \(\Rightarrow\) \(AE=MC\) và \(AE\) // \(MC\) (Tính chất hình thoi).

Mà \(MB=MC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(AE=MB.\)

Xét tứ giác AEMB có:

+ \(AE=MB\left(cmt\right).\)

+  \(AE\) // \(MB\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABME là hình bình hành (dhnb).