Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét Δ ABO và Δ ABK có chung đường cao hạ từ B xuống AK
=>\(\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABK}}=\dfrac{AO}{AK}\)
Xét Δ ACO và Δ ACKcó chung đường cao hạ từ C xuống AK
=>\(\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACK}}=\dfrac{AO}{AK}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AO}{AK}=\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABK}}=\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACK}}=\dfrac{S_{ABO}+S_{ACO}}{S_{ABK}+S_{ACK}}\)\(=\dfrac{S_{ABO}+S_{ACO}}{S_{ABC}}\)(1)
( vì \(S_{ABK}+S_{ACK}=S_{ABC}\))
c/m tương tự như trên t sẽ có:
\(\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{BEA}+S_{BEC}}=\dfrac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{ABC}}\left(2\right)\)
\(\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{CFA}+S_{CFB}}=\dfrac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{ABC}}\left(3\right)\)
Cộng tất cả vế (1) , (2) , (3) ta có :
\(\dfrac{OA}{AK}+\dfrac{OB}{BE}+\dfrac{OC}{CF}=\dfrac{2\left(S_{ABO}+S_{ACO}+S_{BOC}\right)}{S_{ABC}}=2\) ( đpcm)
( vì \(S_{ABO}+S_{ACO}+S_{BOC}=S_{ABC}\))
\(\frac{OA}{AD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{SABC}\)
Tương tự rồi cộng lại ta đc
\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=\frac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=2\)
Bài Giải
Đặt SBOC=x2,SAOC=y2,SAOB=z2 ⇒SABC=SBOC+SAOC+SAOB=x2+y2+z2
Ta có : ADOD =SABCSBOC =AO+ODOD =1+AOOD =x2+y2+z2x2 =1+y2+z2x2
⇒AOOD =y2+z2x2 ⇒√AOOD =√y2+z2x2 =√y2+z2x
Tương tự ta có √OBOE =√x2+z2y2 =√x2+z2y ;√OCOF =√x2+y2z2 =√x2+y2z
⇒P=√x2+y2z +√y2+z2x +√x2+z2y ≥x+y√2z +y+z√2x +x+z√2y
=1√2 [(xy +yx )+(yz +zy )+(xz +zx )]≥1√2 (2+2+2)=3√2
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z⇒SBOC=SAOC=SAOB=13 SABC
⇒ODOA =OEOB =OFOC =13 ⇒O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy MinP=3√2 khi O là trọng tâm của tam giác ABC
Lời giải:
Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)
Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC