Question

[THI QUYNH HOA BUI]

cho tam giác ABC. Gọi M,N là hai điểm lần lượt chạy trên AB và AC sao cho AM/AB+AN/AC=1. Chứng minh rằng chung điểm I của MN chạy trên một mặt phẳng cố định.

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

-Đường thẳng cố định :)

-Qua M,N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AH tại G,F.

-AI cắt BC tại H.

-Xét △MIG có: MG//NF.

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{IN}=\dfrac{IG}{IF}\) (định lí Ta-let)

Mà \(MI=IN\) (I là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\dfrac{IG}{IF}=\dfrac{MI}{MI}=1\Rightarrow IG=IF\).

-Xét △ABH có: MG//BH.

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AG}{AH}\) (định lí Ta-let) (1)

-Xét △ACH có: NF//CH.

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AF}{AH}\) (định lí Ta-let) (2)

-Từ (1), (2) suy ra: \(\dfrac{AG}{AH}+\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=1\)

\(\Rightarrow AG+AF=AH\) mà \(AG+GH=AH\)

\(\Rightarrow AF=GH\) mà \(IG=IF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AF+IF=GH+IG\)

\(\Rightarrow AI=IH\) nên I là trung điểm AH.

-Hạ các đường thẳng vuông góc với BC qua A,I lần lượt tại J,K.

-Xét △AJK có: IK//AJ (do cùng vuông góc với BC).

\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{IH}{AH}\) (định lí Ta-let)

Mà \(IH=\dfrac{1}{2}AH\) (H là trung điểm AI).

\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH}{AH}=\dfrac{1}{2}\)

-Vậy trung điểm I của MN chạy trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng cách là \(\dfrac{1}{2}AH\) (tức là I di chuyển trên đường trung bình của △ABC ứng với cạnh BC).