Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Vì $BH,CK$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BH\perp AC, CK\perp AB$
\(\Rightarrow \widehat{BKC}=\widehat{BHC}(=90^0)\)
Như vậy, tứ giác $BKHC$ có \(\widehat{BKC}=\widehat{BHC}(=90^0)\) và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BKHC$ nội tiếp
$\Rightarrow B,K,H,C$ cùng thuộc 1 đường tròn
b)
\(BH\perp AC, CK\perp AB\Rightarrow \widehat{OKA}=\widehat{OHA}(=90^0)\)
Xét tứ giác $AKOH$ có tổng 2 góc đối nhau:
\(\widehat{OKA}+\widehat{OHA}=90^0+90^0=180^0\) nên $AKOH$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow A,K,O,H$ cùng thuộc 1 đường tròn
c)
Sử dụng tính chất: Trong tam giác vuông, đường phân giác ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền, ta có:
Xét tam giác vuông $AKO, AHO$ thì: \(KM=\frac{AO}{2}; MH=\frac{AO}{2}\Rightarrow MK=MH(1)\)
Xét tam giác $KBC, HBC$ thì:
\(KI=\frac{BC}{2}; HI=\frac{BC}{2}\Rightarrow IK=IH(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow MI\) là trung trực của $KH$ (đpcm)
a, A,H,O thẳng hàng vì AH,AO cùng vuông góc với BC
HS tự chứng minh A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b, Ta có K D C ^ = A O D ^ (cùng phụ với góc O B C ^ )
=> ∆KDC:∆COA (g.g) => AC.CD = CK.AO
c, Ta có: M B A ^ = 90 0 - O B M ^ và M B C ^ = 90 0 - O M B ^
Mà O M B ^ = O B M ^ (∆OBM cân) => M B A ^ = M B C ^
=> MB là phân giác A B C ^ . Mặt khác AM là phân giác B A C ^
Từ đó suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d, Kẻ CD ∩ AC = P. Chứng minh ∆ACP cân tại A
=> CA = AB = AP => A là trung điểm CK
a) Do BE và CF là các đường cao trong tam giác ABC nên ˆBEC=90∘, ˆBFC=90∘
Tứ giác BCEF có góc E và góc F cùng nhìn cạnh BC và bằng nhau (cùng bằng 90∘) nên là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp nên ˆAFE=ˆACB, mà ˆACB=ˆASB (cùng chắn cung AB) nên ˆAFE=ˆASB
Suy ra tứ giác BFMS là tứ giác nội tiếp.
Do đó ˆFMS=180∘−ˆFBS=90∘.. Vậy OA ⊥⊥ EF.
c)
+) Tứ giác BCEF nội tiếp nên ˆAEF=ˆABC (1)
Từ OA ⊥ PE suy ra ˆAIB=ˆAPE(cùng phụ với ˆMAP). (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔAPE∽ΔABI (g.g).
+) Tứ giác BHCS có BH // CS (cùng vuông góc với AS) và BS // CH (cùng vuông góc với AB) nên là hình bình hành. Do đó ba điểm H, K, S thẳng hàng.
Ta sẽ chứng minh hai góc đồng vị ˆPIM và HSM^ bằng nhau.
Tứ giác PDIM nội tiếp (vì có hai góc vuông M và D đối nhau) nên ˆPIM=ˆPDM (3)
Ta có:
ΔAHE∽ΔACDΔ nên AH.AD = AE.AC.
ΔAME∽ΔACSnên AM.AS = AE.AC.
Suy ra AH.AD = AM.AS ⇒AH/AM=AS/AD.
Do đó ΔMAH∽ΔDAS(c.g.c). Suy ra AHM^=ASD^.
Từ đó ta có tứ giác DHMS là tứ giác nội tiếp. Suy ra ˆHDM=ˆHSM. (4)
Từ (3) và (4) suy ra HS // PI, hay KH // PI.
Bạn tham khảo tại link sau:
Câu hỏi của Xuan Nguyen - Toán lớp 9 | Học trực tuyến