Question

[Bùi Thị Thương]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (A > 60^o). Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ABD, ACE. Từ D và E vẽ các cung tròn tâm D bán kính AC và tâm E bán kính bằng AB, chúng cắt nhau tại F ( F nằm khác phía với A đối với đường thẳng DE). Chứng minh tam giác FBC là tam giác đều.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Xét tứ giác ADFE có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là hình bình hành. Vậy thì \(\widehat{FDA}=\widehat{FEA}\)

Suy ra \(\widehat{BDF}=\widehat{FDA}+60^o=\widehat{FEA}+60^o=\widehat{FEC}\)

Xét tam giác BDF và tam giác FEC có: BD = EF ; DF = EC; \(\widehat{BDF}=\widehat{FEC}\)

\(\Rightarrow\Delta BDF=\Delta FEC\left(c-g-c\right)\Rightarrow BF=CF\) . Vậy FBC là tam giác cân.

Ta thấy theo tính chất hình bình hành:  \(\widehat{DFE}=180^o-\widehat{FEA}\) (1)

Lại có : \(\widehat{DFE}=\widehat{DFB}+\widehat{BFC}+\widehat{EFC}=\widehat{BFC}+\left(\widehat{DFB}+\widehat{EFC}\right)\)

\(=\widehat{BFC}+\left(\widehat{ECF}+\widehat{EFC}\right)\)

\(=\widehat{BFC}+\left(180^o-60^o-\widehat{FEA}\right)=\widehat{BFC}+120^o-\widehat{FEA}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BFC}=60^o\)

Suy ra FBC là tam giác đều.

Answer 2

[Trương Công Đại]

FBC 1000000000% luôn đấy nhá