Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Ta có :
\(Sn=\frac{4n+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right)\left[\left(2n-1\right)+\left(2n+1\right)+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)}\right]}{\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}\right)\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right)}.\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2n+1}\right)^3-\left(\sqrt{2n-1}\right)^3}{2}\)
Tương tự =>\(S_1+S_2+...+S_{40}=\frac{\left(\sqrt{2n_1+1}\right)^3+\sqrt{2n_{40}+1}^3}{2}\)
Sau đó thì dễ rồi ha
\(S_1=1\) (còn \(S_n=1\Rightarrow S=2015\))
Tính được \(S_1=1;S_2=-2-\sqrt{3};S_3=-2+\sqrt{3};S_4=1\)
Vậy \(S_i=S_{i+3}\left(i\ge1\right)\)
Mà \(S_1+S_2+S_3=-3\)
\(\Rightarrow S=\sum\limits^{2015}_{i=1}\left(S_i\right)=-3\cdot668+S_{2015}=-3\cdot668+1=-2003\)
#Kaito#
\(\frac{1}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).\frac{2}{\sqrt{n}}\)\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
=>\(S_1+...+S_n< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
Ta sẽ chứng minh với \(n\ge1\)thì \(P_n=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)=\frac{-2n-1}{2n-1}\)
Với \(n=1\)mệnh đề đúng vì \(1-4=-3=\frac{-2.1-1}{2.1-1}\)
Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\)tức là \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với \(n=k+1\)tức là chứng minh \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}\)
Thật vậy \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}\)
\(=\frac{-\left(2k+1\right)}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}.\)
Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi \(n\ge1\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Bạn ghi đề bài sai thì phải, \(\frac{1}{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)}\) không hề phù hợp với các số hạng đầu tiên