TH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2022
Lời giải:
$n=1$ thì $S=0$ nguyên nhé bạn. Phải là $n>1$
\(S=1-\frac{1}{1^2}+1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)
\(=n-\underbrace{\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)}_{M}\)
Để cm $S$ không nguyên ta cần chứng minh $M$ không nguyên. Thật vậy
\(M> 1+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(M>1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}>1\) với mọi $n>1$
Mặt khác:
\(M< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(M< 1+1-\frac{1}{n}< 2\)
Vậy $1< M< 2$ nên $M$ không nguyên. Kéo theo $S$ không nguyên.
XO
14 tháng 3 2020
Ta có : \(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2018}{3^{2018}}\)(1)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}A=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+...+\frac{2018}{3^{2019}}\)(2)
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta có :
\(A-\frac{1}{3}A=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2018}{3^{2018}}\right)-\left(\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+...+\frac{2018}{3^{2019}}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2018}}\right)-\frac{2018}{3^{2019}}\)
Đặt B = \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2018}}\)
=> 3B = \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2017}}\)
Lấy 3B trừ B theo vế ta có :
\(3B-B=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2017}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2018}}\right)\)
=> 2B = \(1-\frac{1}{3^{2018}}\)
=> \(B=\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{2018}.2}\)
Khi đó : \(\frac{2}{3}A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{2018}.2}-\frac{2018}{3^{2019}}\)
\(A=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{2018}.2}-\frac{2018}{3^{2019}}\right):\frac{2}{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{3^{2017}.4}-\frac{1009}{3^{2018}}=\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{3^{2017}.\left(3+1\right)}+\frac{1009}{3^{2018}}\right)\)
\(=\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{3^{2018}}+\frac{1}{3^{2017}}-\frac{1009}{3^{2018}}\right)=\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{3^{2017}}-\frac{336}{3^{2017}}\right)=\frac{3}{4}+\frac{335}{3^{2017}}\)
Vì A > 0 (1)
Mặt khác\(\frac{335}{3^{2017}}< \frac{335}{1340}< \frac{1}{4}\)
=> \(\frac{335}{3^{2017}}< \frac{1}{4}\Rightarrow\frac{3}{4}+\frac{335}{3^{2017}}< \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\Rightarrow A< 1\)(2)
Từ (1) và (2) => 0 < A < 1
=> A không phải là số nguyên
27 tháng 12 2017
A=\(\frac{2018}{2017^2+1}+\frac{2018}{2017^2+2}+..........+\frac{2018}{2017^2+2017}\)
>\(\frac{2018}{2017^2+2017}+\frac{2018}{2017^2+2017}+........+\frac{2018}{2017^2+2017}\)
\(=\frac{2018}{2017^2+2017}.2017=\frac{2018.2017}{2017\left(2017+1\right)}=1\) (1)
Lại có:A<\(\frac{2018}{2017^2+1}+\frac{2018}{2017^2+1}+.........+\frac{2018}{2017^2+1}\)
\(=\frac{2018}{2017^2+1}.2017=\frac{2018.2017}{2017^2+1}=\frac{2017.\left(2017+1\right)}{2017^2+1}\)
\(=\frac{2017^2+2017}{2017^2+1}=\frac{2017^2+1+2016}{2017^2+1}=1+\frac{2016}{2017^2+1}< 2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:1 < A < 2
Vậy A không phải là số nguyên
NT
4
13 tháng 7 2018
Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2018}}\)
\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2017}}\)
\(2A-A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2017}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2018}}\right)\)
\(A=1-\frac{1}{2^{2018}}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\left(đpcm\right)\)
hok tốt .
NH
1
ND
0
