Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Suy ra tứ giác ABDC là hình thang
Gọi I là trung điểm của CD
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC
Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB
Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)
Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.
Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CA = CM
DB = DM
Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD
Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + BD + DC + CA = AB + 2CD
Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất
Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhât khi và chỉ khi CD = AB
Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
Bài này nhớ hôm trước làm rồi mà không nhớ ở câu nào nữa == , ngại tìm lại nên làm luôn :>
a) Ta có : OC , OD là các tia phân giác của 2 góc kề bù nên \(\widehat{COD}=90^o\) . Gọi I là trung điểm của CD tì :
IC = ID = IO
nên I là tâm và IO là bán kính của đường tròn có đường kính CD
b)
Chu vi hình thang ABDC bằng :
AB + AC + BD + CD
Ta dễ dàng chứng inh được :
AC + BD = CM + MD = CD
nên chu vi ABDC bằng AB + 2CD
Ta có AB không đổi nên chu vi ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB .
c)
Đặt AC = x ; BD = y . Chu vi ABCD bằng :
AB + 2CD = 4 + 2( x + y )
Do chu vi ABDC bằng 14 nên :
4 + 2( x + y ) = 14
hay
x + y = 5 (1)
Ta lại có :
xy = MC . MD
= OM2 ( hệ thức lượng tam giác vuông COD )
nên xy = 22 = 4 (2)
Từ (1) , (2) suy ra :
\(x+\frac{4}{x}=5\Leftrightarrow x^2+4=5x\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow x=1;4\)
Vậy , nếu điểm C ( thuộc tia Ax ) cách điểm A là 1 cm hoặc 4 cm thì chu vi hình thang ABDC vẫn bằng 14cm
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Trong tam giác BND, ta có AC // BD
Suy ra: ND/NA = BD/AC (hệ quả định lí Ta-lét) (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM và BD = DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ND/NA = MD/MC
Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC
Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)
Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)
Suy ra: MN ⊥ AB
c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I
Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)
Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)
Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE
Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)
mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm
Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC
Suy ra: MN/AC = DN/DA (hệ quả định lí Ta-lét) (3)
Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)
Suy ra: HN/AC = BN/BC (hệ quả định lí Ta-lét) (4)
Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD
Suy ra: ND/NA = BN/NC (hệ quả định lí Ta-lét)
⇒ ND/(DN + NA) = BN/(BN + NC) ⇔ ND/DA = BN/BC (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC ⇒ MN = HN
Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD (chứng minh trên)
Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)
Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM (1)
Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
O M 2 = CM.DM ⇔ 2 2 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM (2)
Thay (1) vào (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4
⇔ 5CM – C M 2 – 4 = 0 ⇔ 4CM – C M 2 + CM – 4 = 0
⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0 ⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0
⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0 ⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0
⇔ CM = 1 hoặc CM = 4
Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)
Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.