Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,n^5-n=n.\left(n^4-1\right)=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2+1\right)\)
\(=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2-4\right)+5n.\left(n^2-1\right)\)
\(=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n-2\right).\left(n+2\right)+5n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)+5\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)
Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1=>(n-1).n.(n+1) chia hết cho 6
=>5.(n-1).n.(n+1) chia hết cho (5.6)=30 (1)
Vì (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 6
Mà (5;6)=1=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 30 (2)
Từ (1);(2)=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)+5(n-1).n.(n+1) chia hết cho 30
=>n5-n chia hết cho 30 (đpcm)
\(b,\left(n^2+n-1\right)^2-1=\left(n^2+n-1-1\right).\left(n^2+n-1+1\right)\)
\(=\left(n^2+n-2\right).\left(n^2+n\right)=\left(n^2+2n-n-2\right).n.\left(n+1\right)\)
\(=\left[n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right].n.\left(n+1\right)=\left(n+2\right)\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)
Vì (n-1).n.(n+1).(n+2) là tích 4 số nguyên liên tiếp mà trong 4 số nguyên liên tiếp cũng có 3 số nguyên liên tiếp
=>(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 (3)
Vì (n-1).n.(n+1).(n+2) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 (4)
Từ (3);(4);lại có (3;8)=1
=>(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 24
=>(n2+n-1)2-1 chia hết cho 24 (đpcm)
1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1
=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )
b là số tự nhiên chia 5 dư 4
=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )
Ta có ( b - a )( b + a ) = b2 - a2
= ( 5k + 4 )2 - ( 5k + 1 )2
= 25k2 + 40k + 16 - ( 25k2 + 10k + 1 )
= 25k2 + 40k + 16 - 25k2 - 10k - 1
= 30k + 15
= 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )
2. 2n2( n + 1 ) - 2n( n2 + n - 3 )
= 2n3 + 2n2 - 2n3 - 2n2 + 6n
= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )
3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1
= 3n - 2n2 - ( 4n2 - 3n - 1 ) - 1
= 3n - 2n2 - 4n2 + 3n + 1 - 1
= -6n2 + 6n
= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )
a) Ta có:
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)
\(=-5n\)
Vì \(-5n⋮5\) với n thuộc Z
\(\Rightarrow n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)⋮5\) với n thuộc Z
b) Ta có:
\(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)
\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)
\(=5n^2+5n\)
\(=5\left(n^2+n\right)\)
Vì \(5\left(n^2+n\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2⋮5\)
c) Ta có:
\(\left(xy-1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)
\(=\left(xy+1-2\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)
\(=\left(xy+1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)
\(=\left(xy+1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}-x^{2003}+y^{2003}\right)-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)\)
\(=2\left(xy+1\right)y^{2003}-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)\)
Vì \(2\left(xy+1\right)y^{2003}⋮2\)
\(2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)⋮2\)
\(\Rightarrow2\left(xy+1\right)y^{2003}-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)⋮2\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)⋮2\)
