Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
N thuộc tiếp tuyến Bx \(\Rightarrow\Delta ABN\) vuông tại B
M thuộc đường tròn \(\Rightarrow AM\perp BM\)
\(\Rightarrow BM\) là đường cao trong tam giác vuông ABN
Áp dụng hệ thức lượng: \(AB^2=AM.AN\)
\(\Rightarrow2AM+AN\ge2\sqrt{2AM.AN}=2\sqrt{2AB^2}=2\sqrt{2}AB\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2AM=AN\Rightarrow M\) là trung điểm AN
\(\Rightarrow BM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow BM=AM\)
\(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa cung AB
Bạn tự vẽ hình nhé :
1.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CM\perp OM,CA\perp OA\)
\(\Rightarrow CAOM\)nội tiếp đường tròn đường kính OC
Tương tự DMOB nội tiếp đường tròn đường kính OD
2 . Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CM=CA,OC\) là phân giác \(\widehat{AOM}\)
Tương tự DM = DB , OD là phân giác ^BOM
Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^0\)
\(\Rightarrow OC\perp OD\)
Lại có ; \(OM\perp CD\Rightarrow CM.DM=OM^2\Rightarrow CM.DM=R^2\)
Mà : \(CM=CA,DM=DB\Rightarrow AC.BD=R^2\Rightarrow AC.3R=R^2\Rightarrow AC=\frac{R}{3}\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\left(BD+CA\right)=\frac{1}{2}.2R.\left(3R+\frac{R}{3}\right)=\frac{10R^2}{3}\)
3.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CO\perp AM=E\) là trung điểm AM
Tương tự \(OD\perp BM=F\) là trung điểm BM
\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow EF//MN\)
Mà \(OE\perp ME,OF\perp MF,MN\perp ON\)
\(\Rightarrow M,E,N,O,F\in\) đường tròn đường kính OM
\(\Rightarrow EFNO\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EFO}+\widehat{ENO}=180^0\)
Mà \(\widehat{NEF}+\widehat{ENO}=180^0\) ( EF // AB => EF//NO )
\(\Rightarrow EFON\) là hình thang cân
Không vẽ hình vì sợ duyệt nhé.
Dễ thấy rằng \(\widehat{AMB}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BM\perp AC\)tại M
\(\Rightarrow\)BM là đường cao của \(\Delta ABC\)
Đường tròn (O;R) có CB là tiếp tuyến tại B \(\Rightarrow AB\perp BC\)tại B \(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại B
\(\Delta ABC\)vuông tại B, đường cao BM \(\Rightarrow AB^2=AM.AC\)(htl) \(\Leftrightarrow2AB^2=2AM.AC\)\(\Leftrightarrow8R^2=2AM.AC\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(2AM+AC\ge2\sqrt{2AM.AC}=2\sqrt{8R^2}=4R\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2AM=AC\)\(\Rightarrow\)M là trung điểm AC \(\Rightarrow\)BM là trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Mà \(\Delta ABC\)vuông tại B \(\Rightarrow BM=\frac{AC}{2}\)\(\Rightarrow BM=AM\left(=\frac{AC}{2}\right)\)\(\Rightarrow\widebat{AM}=\widebat{BM}\)
\(\Rightarrow\)M là điểm chính giữa của cung AB
Như vậy để \(2AM+AC\)đạt GTNN thì M là điểm chính giữa của cung AB.