Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(x,y,z>0\Rightarrow xyz\ne0\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{xyz}+\dfrac{yz}{xyz}+\dfrac{zx}{xyz}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\Rightarrow\dfrac{1}{x}< 1\Rightarrow x>1\)
Vì \(x\le y\le z\Rightarrow\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{3}{x}\Rightarrow x\le3\) Mà \(x>1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{y}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow y>2\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{2}{y}\Rightarrow\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow y\le4\end{matrix}\right.\)
Mà \(y>2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\Rightarrow z=6\\y=4\Rightarrow z=4\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{y}< \dfrac{2}{3}\Rightarrow y>\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{2}{y}\Rightarrow\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{2}{3}\Rightarrow y\le3\end{matrix}\right.\)
Do \(x\le y\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\z=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;3\right);\left(2;3;6\right);\left(2;4;4\right)\)
Vì a,b,c,d \(\inℕ^∗\Rightarrow a+b+c< +b+c+d\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Tương tự
\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Vì a,b,c,d \(\inℕ^∗\)\(\Rightarrow a+b+c>a+b\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
Tương tự
\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\\\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\\\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{a+b+c+d}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)
Vậy \(1< M< 2\)nên M không là số tự nhiên
Do x; y ; z > 0 nên xyz khác 0 => \(\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=1\Rightarrow\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\Rightarrow\frac{1}{x}1\)
Vì x<= y< = z nên \(\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)
=> 1 < = 3/x => x < = 3 mà x > 1 nên x = 2 hoặc 3
Nếu x = 2 => \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{y}2;\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{2}{y}\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow y\le4\)
mà y >2 => y = 3 hoặc 4
y = 3 => z = 6;
y = 4 => z = 4
nếu x = 3 => \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{1}{y}\frac{3}{2};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{2}{y}\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{2}{3}\Rightarrow y\le3\)
theo đề bài x<= y nên y = 3 => z = 3
Vậy (x;y;z) = (3;3;3); (2;3;6);(2;4;4)
*Xét 0<x<y<z
Ta thấy: xy<yz (x<z)
zx<yz (x<y)
=>xy+yz+zx=xyz<zy+zy+zy
=>xyz<3zy
=>x<3 mà 0<x<3
=>x=1;2
-Nếu x=1
=>y+yz+z=yz
=>y+z =yz-yz
=>y+z =0
mà 0<y<z
=>Vô lí
-Nếu x=2
=>2y+yz+2z=2yz
=>2y+2z =2yz-yz
=>2.(y+z) =yz
Ta thấy: y<z
=>2.(y+z)=yz<2.(z+z)
=>yz<4z
=>y<4 mà 2<y<4
=>y=3
=>2.3+3z+2z=2.3.z
=>6+5z =6z
=>z =6
*Xét0<x=y=z
=>xx+xx+xx=xxx
=>3xx =xxx
=>x =3
=>x=y=z=3
Vậy x=2;y=3;z=6
x=3;y=3;z=3
Dễ thấy \(VT\ge0\)
Mà đề lại cho \(VT\le0\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=10\\yz=-15\\xz=-6\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 3 đẳng thức trên lại được \(x^2y^2z^2=900\)
\(\Leftrightarrow xyz=\pm30\)
*Với \(xyz=30\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{xyz}{yz}=\frac{30}{-15}=-2\\y=\frac{xyz}{xz}=\frac{30}{-6}=-5\\z=\frac{xyz}{xy}=\frac{30}{10}=3\end{cases}}\)
*Với \(xyz=-30\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{xyz}{yz}=\frac{-30}{-15}=2\\y=\frac{xyz}{xz}=\frac{-30}{-6}=5\\z=\frac{xyz}{xz}=\frac{-30}{10}=-3\end{cases}}\)
Vậy ,,,,,,,,,,,
Ta có \(\hept{\begin{cases}\left|xy-10\right|\ge0\forall x,y\\\left|yz+15\right|\ge0\forall y,z\\\left|zx+6\right|\ge0\forall z,x\end{cases}}\)=>|xy-10|+|yz+15|+|zx+6|\(\ge0\forall x,y,z\)
mà |xy-10|+|yz+15|+|zx+6|\(\le0\)
=>|xy-10|+|yz+15|+|zx+6| =0
<=>\(\hept{\begin{cases}\left|xy-10\right|=0\\\left|yz+15\right|=0\\\left|zx+6\right|=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}xy-10=0\\yz+15=0\\zx+6=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}xy=10\\yz=-15\\zx=-6\end{cases}}\)
Ta có:\(\frac{xy}{yz}\)=\(\frac{10}{-15}\)
=>\(\frac{x}{z}\)=\(\frac{-2}{3}\)
=>x=\(\frac{-2}{3}z\)
Thay x vào biểu thức zx=-6 ta được :
\(\frac{-2}{3}.z^2\)=-6
z2 = 9 => z= \(\orbr{\begin{cases}3\\-3\end{cases}}\)
Với z = 3 \(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-6:3=-2\\y=-15:3=-5\end{cases}}\)
Với z= -3 \(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-6:\left(-3\right)=2\\y=-15:\left(-3\right)=5\end{cases}}\)
Vậy (x,y,z)={ (-2,-5,3);(2,5,3) }
