Question

[Mai Công Thanh]

Cho a, b, c là ba số nguyên dương và ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z =1008. Đặt S₁ =\(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\); S₂ = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\) ;

S₃= \(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\).Chứng minh rằng: S₁ + S₂ + S₃ \(\ge\) 2016.

Giải giùm mình nhé, cám ơn.

Answer 1

[Hoàng Phúc]

\(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)

                             \(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)

                              \(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)y+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)z\)

(*)Ta cần CM bất đẳng thức sau: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Nhân ab vào 2 vế,ta được:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>BĐT đúng với mọi a;b

Tương tự,ta cũng có: \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

Do đó \(S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\left(đpcm\right)\)