Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cm 1 bđt sau:\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\).Thật vậy:
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)Áp dụng: \(T=\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{c}{a^4+b^4+c}+\frac{b}{c^4+a^4+b}\)
\(T\le\frac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\frac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}+\frac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}\)
\(=\frac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\frac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}+\frac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}\)
Do abc=1 \(\Rightarrow T\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1."="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(b^4+c^4+a=b^4+c^4+a.abc\)
+Chứng mih \(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\text{ (1)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\left(b-c\right)^2\left[b^2+c^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow b^4+c^4+a\ge bc\left(b^2+c^2\right)+a^2bc=bc\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{1}{a}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự và cộng lại ta sẽ có kết quả.
\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)vì \(\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow T\le\frac{a}{\frac{b^2+c^2}{a}+a}+\frac{b}{\frac{a^2+c^2}{b}+b}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}=1\)
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
a/
\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)^2}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(c+a\right)^2}{c+a}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ Ta có: \(x^4+y^4\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+y^2\right)\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+ca\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{1}{a+\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+\frac{1}{b}\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+\frac{1}{c}\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\le\frac{a+b+c}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{a+b+c}\le\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2bc-2ca
((a^2+b^2+c^2)-1)/2abc=(1-2ab-2bc-2ca-1)/abc=-(1/a+1/b+1/c)
T=4/a+b +4/b+c +4/c+a<=1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a-1/a-1/b-1/c=1/a+1/b+1/c<=9
Dấu = khi a=b=c=1/3
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{c^2+a^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\right)\left(b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{a^2+c^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)
Ta có :
2.C = \(2.x+2.y+\frac{4}{x}=\left(x+2.y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)\ge8+2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=12\)
=> \(C\ge12\)
Dấu " = " <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)
Đang lướt câu hỏi của bạn thì thấy câu này hay tiện tay làm luôn :D
\(b^4+c^4=\frac{3b^4+c^4}{4}+\frac{3c^4+b^4}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{\left(b^4\right)^3\cdot c^4}}{4}+\frac{4\sqrt[4]{\left(c^4\right)^3b^4}}{4}=b^3c+c^3b\)
\(=bc\left(b^2+c^2\right)=\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)=\frac{b^2+c^2}{a}\)
\(\Rightarrow a+b^4+c^4\ge a+\frac{b^2+c^2}{a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Thiết lập các BĐT tương tự,khi đó:
\(A\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1