LT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
XO
21 tháng 4 2022
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)
Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)
Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2
14 tháng 9 2018
\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)
\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)
dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
25 tháng 4 2019
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
TD
22 tháng 3 2017
Có : A= 1/(x^3+y^3)+1/xy
=> A= 1/(x+y)(x^2+xy+y^2) +1/xy
=> A=1/(x^2+xy+y^2)+1/xy (vì x+y=1)
Áp dụng bđt : 1/a+1/b >= 4/(a+b)
=> 1/(x^2+xy+y^2) +1/xy >= 1/(x+y)^2
=> A >=1
Đẳng thức xảy ra <=> x=y và x+y=1 => x=y=0,5
Vậy Amin=1 <=> x=y=0,5
LD
2
29 tháng 5 2017
Có: \(\hept{\begin{cases}2x^2-xy-y^2=P\\x^2+2xy+3y^2=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x^2-4xy-4y^2=4P\\Px^2+2xy+3Py^2=4P\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow8x^2-4xy-4y^2-Px^2-2Pxy-3Py^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(8-P\right)x^2-xy\left(4+2P\right)-y^2\left(4+3P\right)=0\)
* Với \(y=0\)
\(\Rightarrow\left(8-P\right)x^2=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}8-P=0\\x=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}P=8\\P=0\end{cases}}\)
* Với \(y\ne0\), đặt \(t=\frac{x}{y}\)
\(pt\Leftrightarrow\left(8-P\right)t^2-\left(4+2P\right)t-\left(4+3P\right)=0\)
- Nếu \(P=8\Rightarrow t=-\frac{7}{5}\)
- Nếu \(P\ne8\Rightarrow\)pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Rightarrow\left(4+2P\right)^2-4\left(8-P\right)\left(4+3P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow16+8P+4P^2-4\left(32-3P^2+20P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-8P^2+96P+144\ge0\)
\(\Leftrightarrow6-3\sqrt{6}\le P\le6+3\sqrt{6}\)
Vậy \(MinP=6-3\sqrt{6};MaxP=6+3\sqrt{6}\)
12 tháng 4 2018
⇒ 8 − P x
2 = 0⇒ 8 − P = 0
x = 0 ⇒ P = 8
P = 0
* Với y ≠ 0, đặt t =
y
x
pt⇔ 8 − P t
2 − 4 + 2P t − 4 + 3P = 0
- Nếu P = 8⇒t = −
5
7
- Nếu P ≠ 8⇒pt có nghiệm ⇔Δ ≥ 0⇒ 4 + 2P
2 − 4 8 − P 4 + 3P ≥ 0
⇔16 + 8P + 4P
2 − 4 32 − 3P
2
+ 20P ≥ 0
⇔− 8P
2
+ 96P + 144 ≥ 0
⇔6 − 3 6 ≤ P ≤ 6 + 3 6
Vậy MinP = 6 − 3 6 ;MaxP = 6 + 3 6
HN
3
31 tháng 7 2017
\(C=x^2+y^2+xy\)
\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)-xy\)
\(=\left(x+y\right)^2-x\left(1-x\right)\)
\(=1-x+x^2\)
\(=x^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(C_{min}=\frac{3}{4}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
31 tháng 7 2017
C=(x+y)^2-xy=1-xy
Mà xy<=(x+y)^2/4=1/a suy ra C>=1-1/4=3/4
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
1 tháng 6 2015
sorry lam lon
M=(x^2+y^2/xy=x^2/xy+y^2/xy=x^2/4xy +x^2/4xy +x^2/4xy+x^2/4xy + 4y^2/4xy
Do x,y > 0 nên áp dụng cô si cho 5 số dương ta có :
M ≥ 5 . Căn 5 của (x^2/4xy . x^2/4xy .x^2/4xy.4y^2/4xy)=5.căn 5 của (x^3/256y^3) (*)
Mặt khác do x ≥ 2y =>x^3 ≥ 8y^3 nên từ (*) ta có :
M ≥ 5.can 5 cua (8y^3/256y^3)=5.can 5 cua (1/32)=5.1/2 =5/2
Dau " ≥ " khi
{x^2/4xy = 4y^2/4xy
{x^3=8y^3
=>x ≥ 2y
Vậy :x ≥ 2y
Thay y= 1-x ta được
\(c=x^2+y^2+xy=x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)=x^2-x+1\)
\(=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y=1-x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Đặt \(x=1-y\)
\(C=x^2+y^2+xy=\left(1-y\right)^2+y^2+y\left(1-y\right)\)
\(\Leftrightarrow C=1-2y+y^2+y^2+y-y^2=y^2-y+1\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Vậy min C là 3/4 khi y=1/2 và x =1- 1/2= 1/2 hay x=y= 1/2