Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)
Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)
\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)
Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a
Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)
Vậy S chia 6 dư 3
2.
\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)
Vì 2100 chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876
Lại có 2100 chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8
=> Ba CTSC là 376
3.
\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)
\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3
\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3
\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4
4.
\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4
\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)
\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)
CM bằng quy nạp (có trên mạng)
bạn ơi cho mình hỏi là vì sao 1995 chia 6 dư 3 thì 1995^1995 chia 6 cũng dư 3 vậy ạ? nếu đc thì bạn có thể chứng minh giúp mình t/c này với ạ
Ta thấy rằng:
1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2 = (1 + 2)^2
1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1 + 2 + 3)^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2 = (1 + 2 + 3 + 4)^2
Vì thế ta có phát biểu:
Tổng các lập phương từ 1 đến n luôn là số chính phương và:
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
Thì áp dụng vào, ta có:
\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+98+99\right)^2⋮B\)
Vì thế, A sẽ chia hết cho B nên số dư là 0
ta có 3^1998 đồng dư với 0 (mod 3)
và 5 đồng dư với -1 (mod3) => 5^1998 đồng dư với 1 (mod 3) ( vì 1998 chẵn)
=> 3^1998+5^1998 đồng dư với 0+1 (mod 3 ) => đồng dư với 1 ( mod3 )
Vậy 3^1998+5^1998 chia 3 dư 1
