NQ
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LM
0
11 tháng 9 2020
Bài chỉ chứng minh vế phải chia hết vế trái chứ k tìm n hay a nhé bạn
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2020
Nguyễn Ngọc Phương: Mình đâu có tìm $n,a$ đâu hả bạn? Mình đang chỉ ra TH sai mà???
Chả hạn, chứng minh $n(n+1)(n^2+1)\vdots 5$ thì có nghĩa mọi số tự nhiên/ nguyên $n$ đều phải thỏa mãn. Nhưng chỉ cần có 1 TH $n$ thay vào không đúng nghĩa là đề không đúng rồi.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$
Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$
Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$
$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$
Hay $A\vdots 5(*)$
----------------------
Chứng minh $A\vdots 7$
$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$
$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$
Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$
Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$
$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$
$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$
Hay $A\vdots 7(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$
VT
2
TT
5 tháng 1 2019
Đặt \(B=4^{1993}+4^{1992}+.......+4^2+1\)
\(\Rightarrow4B=4^{1994}+4^{1993}+....+4^3+4\)
\(\Rightarrow3B=4^{1994}-1\)
Mà: \(A=75B+25=25\left(3B+1\right)=25\left(4^{1994}-1+1\right)=25.4^{1994}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 1 2019
\(A=75\left(4^{1993}+5^{1992}+...+4^2+5\right)+25=75B+25\)
Xét \(B=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+5=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+4+1\)
\(\Rightarrow4B=4^{1994}+4^{1993}+...+4^2+4\)
\(\Rightarrow4B+1-4^{1994}=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+4+1=B\)
\(\Rightarrow3B=4^{1994}-1\Rightarrow B=\dfrac{4^{1994}-1}{3}\)
Vậy \(A=75.\dfrac{\left(4^{1994}-1\right)}{3}+25=25.4^{1994}-25+25\)
\(\Rightarrow A=25.4^{1994}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 12 2021
a.
\(\Leftrightarrow8x^3+8x=8y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=y^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(x;x^2+1\right)\)
\(\Rightarrow x^2+1-x.x⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow x\) và \(x^2+1\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m^2\\x^2+1=n^2\end{matrix}\right.\)
\(x^2+1=n^2\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=1\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 12 2021
TH1: a;b;c đồng dư khi chia 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
TH2: 3 số a;b;c có số dư đôi một khác nhau khi chia cho 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
TH3: 3 số a;b;c có 2 số đồng dư khi chia 3, một số khác số dư. Không mất tính tổng quát, giả sử \(a,b\) đồng dư khi chia 3 còn c khác số dư
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2⋮3\) còn \(\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\) chia 3 luôn dư 1 hoặc 2
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮̸3\) (1)
Mặt khác từ giả thiết:
\(\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac+3ac⋮3\\c^2-ab-3ab⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac⋮3\\c^2-ab⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2-bc\right)+2\left(b^2-ac\right)+2\left(c^2-ab\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮3\) trái với (1) ktm
Vậy \(a+b+c⋮3\)
14 tháng 8 2019
\(b,n^2\left(n^4-1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
Ta có:\(n^2-1;n^2;n^2+1\) là 3 số nghuyên liên tiếp
\(\Rightarrow n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)⋮60\)
\(\Rightarrowđpcm\)
=>
29 tháng 9 2019
Áp dụng bđt bunhiacopski có:
\(\left(a^4+1\right)\left(1+4^2\right)\ge\left(a^2+4\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^4+1}\ge\sqrt{\frac{\left(a^2+4\right)^2}{1+4^2}}=\frac{a^2+4}{\sqrt{17}}\)(1)
Tương tự cx có: \(\sqrt{b^4+1}\ge\frac{b^2+4}{\sqrt{17}}\) (2)
Từ (1),(2) => \(F\ge\frac{a^2+b^2+8}{\sqrt{17}}\)
Có (a+2)(b+2)=\(\frac{25}{4}\)
=> \(ab+2a+2b+4=\frac{25}{4}\) <=> \(ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
Áp dụng cosi có:
\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(2a\le2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\)
\(2b\le2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{2}+2a^2+\frac{1}{2}+2b^2+\frac{1}{2}\ge ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
<=> \(\frac{a^2+b^2+4a^2+4b^2}{2}\ge\frac{9}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
<=> \(\frac{5\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{5}{4}\)
<=> \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Thay \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) vào F có:
\(F\ge\frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}}\)
<=> F \(\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(a=b=\frac{1}{2}\)
