SN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)
\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)
Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$
Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$
BĐT $(*)$ trở thành:
$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$
$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$
Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$
Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
2 tháng 1 2018
Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy ba số ở mẫu ta được
\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}=\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\)Thấy: \(xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(?!\right)\)
Ta phải chứng minh:
\(\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
Mà \(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}=\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\)
Theo C.B.S
\(\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Phải chứng minh
\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
Ta có : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
Theo C.B.S : \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
=> ĐPCM
16 tháng 8 2021
Ta có:\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}\)
Tương tự ta có:\(\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\)
\(\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)
\(=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}\)
17 tháng 6 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
TN
20 tháng 9 2017
Đặt \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) (chẳng có lý do j đâu mình gõ a,b,c quen hơn thôi)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(3P=\frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{bc}}+\frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{3\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
\(=3-\left(\frac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\right)\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\right]\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\right]=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 12 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3yz}}+\frac{y^2}{\sqrt[3]{y^3xz}}+\frac{z^2}{\sqrt[3]{z^3xy}}\)
\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}}\) (1)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(\sqrt[3]{x^3yz}\leq \frac{x^2+xyz+1}{3}; \sqrt[3]{y^3xz}\leq \frac{y^2+xyz+1}{3}; \sqrt[3]{z^3xy}\leq \frac{z^2+xyz+1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\leq \frac{x^2+y^2+z^2+3xyz+3}{3}=2+xyz\)
Theo BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq 3\Leftrightarrow xyz\leq 1\)
Do đó: \(\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\leq 3\) (2)
Từ (1),(2) và sử dụng hệ quả \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\) :
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{3}\geq \frac{3(xy+yz+xz)}{3}=xy+yz+xz\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
27 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}\)
Cần chứng minh \(\dfrac{9x}{y+z+1}+\dfrac{9y}{x+z+1}+\dfrac{9z}{x+y+1}\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{9x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{9y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{9z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\left(x+y+z\right)^2\)
BĐT cuối đúng vì dễ thấy: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
