Chứng minh bất đẳng thức: (dùng bđt Bunhiacopski)\(\sqrt{a-1}+\sqrt{a+2}\le\sqrt{6}vớia\in\left[-2;1\right]\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2021
\(\left|\sqrt{3}sinx+cosx\right|=2\left|\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinxx+\dfrac{1}{2}cosx\right|=2\left|sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right|\le2\)
Đề bài sai
ON
27 tháng 8 2018
Mình học lớp 6 nên chẳng may có gì sai bạn(chị anh) sửa giúp em nhé:
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(2\sqrt{n}\right)^2\) (bình phương cả 2 vế)
=> \(2n+2\sqrt{n^2-a^2}< 4n\)
=>\(2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)
=>\(\sqrt{n^2-a^2}< n\)
=>n2 - a2 < n2 (bình phương cả 2 vế)
Vì |a|>0
=>a2 > 0
=> n2-a2 < n2
Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
câu b làm tương tự nhé:
TM
25 tháng 10 2016
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
14 tháng 5 2016
Vì \(a\ge1;b\ge1\) nên \(\ln a;\ln b\) và \(\ln\frac{a+b}{2}\) không âm. Ta có :
* \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\ln\sqrt{ab}\Leftrightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\) (1)
* \(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\) Áp dụng BĐT Cauchy
\(\Rightarrow2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a.\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay :
\(\ln a+\ln b\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
