với x,y,z>0 cmr với x,y,z>0 cmr ( x^2 + 5 )( y^2 + 5 )( z^2 + 5 ) >= 6( x + y + z + 3)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
0
AP
2
2 tháng 9 2019
Ta có:
\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=-z^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow5\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=15xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Mặt khác:
\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5=-z^5\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5+5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5+\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5+\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5-5xyz\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(x^5+y^5+z^5\right)-5xyz\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)+x^2+y^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Khi đó:\(6\left(x^5+y^5+z^5\right)=15xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)=VT\)
\(\Rightarrowđpcm\)
KT
0
L
28 tháng 8 2021
x + y + z = 0
⇒x3+y3+z3=3xyz⇒x3+y3+z3=3xyz
⇒(x3+y3+z3)(x2+y2+z2)=3xyz(x2+y2+z2)⇒(x3+y3+z3)(x2+y2+z2)=3xyz(x2+y2+z2)
⇒x5+y5+z5+x2y2(x+y)+y2z2(y+z)+z2x2(z+x)=3xyz(x2+y2+z2)⇒x5+y5+z5+x2y2(x+y)+y2z2(y+z)+z2x2(z+x)=3xyz(x2+y2+z2)
⇒x5+y5+z5−xyz(xy+yx+zx)=3xyz(x2+y2+z2)⇒x5+y5+z5−xyz(xy+yx+zx)=3xyz(x2+y2+z2)
⇒2(x5+y5+z5)=5xyz(x2+y2+z2)
LV
2 tháng 2 2017
Vì x+y+z=0
=>x+y=-z =>(x+y)^5=-z^5
hay x^5+y^5+5(x^4y+xy^4+2x³y²+2x²y³+)=-z^5
<=>x^5+y^5+z^5+5xy(x³+y³+2x²y+2x²y)=0
<=>x5+y^5+z^5+5xy(x+y)(x²-xy+y²+2xy)=0
<=>x^5+y^5+z^5-5xyz(x²+xy+y²)=0
<=>x^5+y^5+z^5=5xyz(x²+xy+y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(2x²+2xy+2y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz[x²+y²+(x+y)²]
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x³+y²+z²)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Lời giải:
Khai triển:
\(\text{VT}=5(x^5+y^5+z^5)+5\underbrace{[x^3(y^2+z^2)+y^3(x^2+z^2)+z^3(x^2+y^2)]}_{M}\)
Xét riêng $M$ kết hợp với điều kiện $x+y+z=0$ ta có
\(M=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(x+z)=-(x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y)\)
\(\Leftrightarrow M=-xyz(xy+yz+xz)=\frac{-1}{2}xyz[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta biết đến một hằng thức rất quen thuộc: Nếu $x+y+z=0$ thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Cách chứng minh: \(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)=0-3(-x)(-y)(-z)=3xyz\)
Do đó \(M=\frac{1}{6}(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)=\frac{\text{VT}}{30}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=5(x^5+y^5+z^5)+5M=5(x^5+y^5+z^5)+\frac{\text{VT}}{6}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=6(x^5+y^5+z^5)\) (đpcm)
b) Theo phần a)
\(\left\{\begin{matrix} M=\frac{1}{2}xyz(x^2+y^2+z^2)\\ M=\frac{5(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{30}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{5(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{30}=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Mà \(5(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=6(x^5+y^5+z^5)\Rightarrow \frac{6(x^5+y^5+z^5)}{30}=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\) (đpcm)
LV
1 tháng 2 2017
b)Vì x+y+z=0
=>x+y=-z =>(x+y)^5=-z^5
hay x^5+y^5+5(x^4y+xy^4+2x³y²+2x²y³+)=-z^5
<=>x^5+y^5+z^5+5xy(x³+y³+2x²y+2x²y)=0
<=>x5+y^5+z^5+5xy(x+y)(x²-xy+y²+2xy)=0
<=>x^5+y^5+z^5-5xyz(x²+xy+y²)=0
<=>x^5+y^5+z^5=5xyz(x²+xy+y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(2x²+2xy+2y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz[x²+y²+(x+y)²]
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x³+y²+z²)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(x^2;y^2;z^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(x^2\) và \(y^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+1\ge x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+5x^2+5y^2+25\ge6x^2+6y^2+24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5\right)\left(y^2+5\right)\ge6\left(x^2+y^2+4\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+5\right)\left(y^2+5\right)\left(z^2+5\right)\ge6\left(x^2+y^2+4\right)\left(z^2+5\right)\)
\(=6\left(x^2+y^2+1+3\right)\left(1+1+z^2+3\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z+3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)