Question

[Vũ Huy Đoàn]

cho tam giác abc.Trên nửa mặt phẳng bờ ac không chứu điểm B,lần lượt vẽ các đường thẳng qua A song song BC và đi qua C song song AB.Chúng lần lượt cắt nhau tại D.Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của AD,CD,BC.Gọi giao điểm BD với AP và BD với CM lần lượt là E,F.CMR:
a,A,F,N thẳng hàng
b,BE=EF=FC

Answer 1

[Yen Nhi]

(Hình minh họa)

a)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CDB\):

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta CBD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\)

Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta COD\):

AB = CD

\(\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\)

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\Rightarrow\Delta AOB=\Delta COD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OA=OC;OB=OD\)

\(\Rightarrow O\) là trung điểm AC và BD

Xét \(\Delta ACD\):

MC và DO là hai đường trung tuyến của tam giác và giao nhau ở F

\(\Rightarrow F\) là trọng tâm \(\Delta ADC\)

Mà AN là đường trung tuyến \(\Delta ADC\)

\(\Rightarrow A,F,N\) thẳng hàng

b)

Vì P là trọng tâm \(\Delta ADC\)

\(\Rightarrow DF=\dfrac{2}{3}DO;OF=\dfrac{1}{3}DO\)

Vì O là giao điểm của hai đường trung tuyến BO và AP của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{2}{3}BO;EO=\dfrac{1}{3}BO\)

Mà O là trung điểm BD

\(\Rightarrow BO=DO\)

\(\Rightarrow BE=DF=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}DO\)

\(\Rightarrow FO=EO=\dfrac{1}{3}BO=\dfrac{1}{3}DO\Rightarrow EO+FO=FE=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}DO\)

\(\Rightarrow BE=FE=FD\).