Chứng minh rằng với mọi a thuộc Z biểu thức sau luôn nguyên dương
\(\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 12 2019
Nhìn cái D cồng kềnh thế thôi chứ key vô cùng EZ.
\(D=\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)
\(=\sqrt{\left[a\left(a+6\right)\right]\left[\left(a+1\right)\left(a+5\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+4\right)\right]+36}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\)
Đặt \(a^2+6a=x\)
Ta có:
\(D=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)
\(=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x+2\right)^2}\)
Thay \(x=a^2+6a\) ta có:
\(D=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a+6a+2\right)^2}=\left(a+3\right)\left(a+6a+2\right)\)
là số nguyên vs a nguyên khác 0 nha !
Z
17 tháng 1 2016
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36=\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36\)
Đặt \(a^2+6a=t\) ta có:\(t\left(t+5\right)\left(t+8\right)+36=t\left(t^2+13t+40\right)=t^3+13t^2+40t+36=\left(t+9\right)\left(t+2\right)^2\)
Do đó \(\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2}\)
\(=\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)(Dấu () ở đây là giá trị tuyệt đối nha)
Do đó với a nguyên thì \(\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)nguyên (Dấu () ở đây là giá trị tuyệt đối nha)
Vậy nếu a nguyên thì \(\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)nguyên
13 tháng 12 2015
\(\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)
=\(\sqrt{\left(a\left(a+4\right)\left(a+5\right)\right).\left(\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+6\right)\right)+36}\)
\(\sqrt{\left(a^3+9a^2+20a\right).\left(a^3+9a^2+20a+12\right)+36}\)
Đặt a^3+9a^2+20a+6=k(k thuộc Z)
ta có\(\sqrt{\left(k-6\right)\left(k+6\right)+36}=\sqrt{k^2-36+36}=\sqrt{k^2}=k\)
Vì k thuộc Z
=>A thuộc Z
tick nha
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2019
Lời giải:
\(a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)(a+6)+36=[a(a+4)(a+5)][(a+1)(a+2)(a+6)]+36\)
\(=(a^3+9a^2+20a)(a^3+9a^2+20a+12)+36\)
\(=(a^3+9a^2+20a)^2+12(a^3+9a^2+20a)+36\)
\(=(a^3+9a^2+20a+6)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)+36}=|a^3+9a^2+20a+6|\) có giá trị nguyên với mọi $a$ nguyên (đpcm)
\(\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)
\(=\sqrt{a\left(a+6\right)\left(a+1\right)\left(a+5\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)+36}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\left(1\right)\)
Đặt \(a^2+6a=x\), Ta có:
\(\left(1\right)=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}\)
\(=\sqrt{\left(x^2+5\right)\left(x+8\right)+36}=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)
\(=\sqrt{x^3+9x^2+4x^2+36x+4x+36}=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x+2\right)^2}\)
Thay \(x=a^2+6a\)vào biểu thức trên ta được:
\(\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2}=\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)
\(\rightarrowđpcm\)