cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 tìm GTNN của biểu thức
\(A=\frac{\left(1+a\right).\left(1+b\right).\left(1+c\right)}{\left(1-a\right).\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
28 tháng 7 2016
\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)
Mà \(\alpha=x+y+z\) (theo gt) nên ta có thể viết \(Q\) như sau:
\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};\) \(b=\frac{x+z}{y};\) và \(c=\frac{x+y}{z}\) \(\Rightarrow\) \(a,b,c>0\)
Khi đó, biểu thức \(Q\) được biểu diễn theo ba biến \(a,b,c\) như sau:
\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)
\(\Rightarrow\) \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
Mặt khác, ta lại có:
\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
nên \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\) (theo bđt \(Cauchy\) lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)
Nhân hai bđt \(\left(1\right);\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được bđt mới là:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Theo đó, \(a+b+c+3\ge9\) tức là \(a+b+c\ge6\)
\(\Rightarrow\) \(4\left(a+b+c\right)\ge24\) \(\left(\alpha\right)\)
Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh \(abc\ge8\) \(\left(\beta\right)\)
Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.
\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\beta\right)\) được chứng minh.
Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)
\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\) \(\left(\gamma\right)\)
Cộng từng vế 3 bđt \(\left(\alpha\right);\) \(\left(\beta\right)\) và \(\left(\gamma\right)\), ta được:
\(Q-8\ge24+8+24=56\)
Do đó, \(Q\ge64\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=2\)
Vậy, \(Q_{min}=64\) khi \(\alpha=6\)
28 tháng 3 2019
TH1: Nếu a+b+c \(\ne0\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=1\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=2\)
Vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=8\)
TH2 : Nếu a+b+c = 0
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=0\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=1\)
vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=1\)
28 tháng 3 2019
\(\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{b+c-a}{a}+2=\frac{c+a-b}{b}+2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
TH1: a+b+c=0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\Rightarrow B=\left(1-\frac{a+c}{a}\right).\left(1-\frac{b+c}{c}\right).\left(1-\frac{a+b}{b}\right)=-1\)
TH2: a+b+c khác 0
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow B=\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right)=2^3=8\)
18 tháng 3 2017
\(\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow6a-3b=2a+2b\)
\(\Leftrightarrow6a-2a=2b+3b\)
\(\Leftrightarrow4a=5b\)
\(\frac{b-c+a}{2a-b}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow4a-2b=3b-3c+3a\)
\(\Leftrightarrow4a-3a=3b-3c+2b\)
\(\Leftrightarrow a=5b-3c\)
\(\Leftrightarrow a=4a-3c\)
\(\Leftrightarrow3a=3c\)
\(\Rightarrow a=c\)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(4a+4a\right)^5}{\left(4a+4a\right)^2\left(a+3a\right)^3}=\frac{\left(8a\right)^5}{\left(8a\right)^2\left(4a\right)^3}=\frac{\left(8a\right)^3}{\left(4a\right)^3}=\frac{8^3}{4^3}=2^3=8\)
Đặt \(x=1-a\), \(y=1-b\), \(z=1-c\)
Ta có : \(1+a=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)=y+z\)
\(1+b=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)=x+z\)
\(1+c=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)=x+y\)
Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy Min A = 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)