CMR : A = \(\frac{1}{\sqrt{1}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{4}}\)+...+\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)>\(\sqrt{n+1}\)với n > 2
giúp mình với nhé
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 8 2016
Bài chứng minh ghi phức tạp lắm mà mình dùng điện thoại nên không ghi được. Còn số nguyên tố đó là 2 nhé
LP
28 tháng 7 2016
a)= \(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)
=\(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
= \(-1+\sqrt{100}\)
= -1 +10
=9
28 tháng 7 2016
b)Ta có\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)=n+1-n=1 (1)
Lại có:\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\cdot\left(\sqrt{n+1}+1\right)=1\)(2)
Từ (1) và (2)=>\(\left(\sqrt{n+1}-1\right)=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\)
DH
6 tháng 10 2017
a, Chắc xét hàm số tổng quát!
Xét hàm số tổng quát:
\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)\)
\(=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]\)
\(=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Vì \(\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2\)
Do đó \(\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (1)
Áp dụng điểu (1) ta được:
\(\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
...................................
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Với mọi giá trị của \(n>0\) ta luôn có: \(\sqrt{n+1}>0\)
Do đó \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) (đpcm)
6 tháng 7 2017
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{cases}}\forall n\in N\)
Suy ra : \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Đặt \(M=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2499}}+\frac{1}{\sqrt{2500}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}M=\frac{1}{2\sqrt{2500}}+\frac{1}{2\sqrt{2499}}+...+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT , ta có :
\(\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{2499}+\sqrt{2499}-\sqrt{2498}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}=50-\frac{1}{2}< 50\)
\(\Rightarrow M< 100\)
HT
21 tháng 12 2015
Đặt A =\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
=> A > \(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
=> A > \(\frac{1}{\sqrt{n}}.n\)
=> A > \(\sqrt{n}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\)(Đpcm)
không biết làm