Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì:
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 8 2019
Đặt P = ...
* Chứng minh P > 1/2 :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)
Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là:
\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)
Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)
* Chứng minh P < 3/4 :
Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)
\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)
...
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 )
\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)
9 tháng 8 2019
\(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\) \(\frac{1}{4^3}< \frac{1}{3.4.5}\) \(\frac{1}{5^3}< \frac{1}{4.5.6}\) ..... \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+\frac{1}{4.5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+\frac{2}{4.5.6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+\frac{6-4}{4.5.6}+...+\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+\frac{1}{4.5}-\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{12}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}< \frac{1}{12}\)
14 tháng 1 2019
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)
đpcm
22 tháng 2 2017
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
25 tháng 7 2019
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
N
9 tháng 8 2019
Đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)
Ta có : \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2>2n\left(2n+2\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.4}\\\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.6}\\\frac{1}{7^2}< \frac{1}{6.8}\end{cases}}\)
\(...............\)
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}=B\)
\(=\frac{4-2}{2.4}+\frac{6-4}{4.6}+\frac{8-6}{6.8}+...+\frac{2n+2-2n}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}< \frac{1}{2}\Rightarrow B< \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A< B< \frac{1}{4}\Rightarrow A< \frac{1}{4}\) hay đpcm
Linh ơi;Phương Anh đây bài này dễ mà học nhà thầy rùi cách giải nè:
Ta có:1/23 <1/1.2.3 ;1/33 <1/2.3.4;.....;1/n3<1/.(n-1).n.(n+1)
Suy ra Đề bài <1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+....+1/(N-1).N.(N+1)
<1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+...+1/N-1-1/N+1/N1/N+1
<1/2-1/n+1<1/4
Vậy........
Tao giải có đúng không?