CM : \(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\) biết rằng \(a+b\ge0\)
Cần gấp lắm ạ !!!
Đừng Tham khảo nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
6 tháng 2 2022
ta có:
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)+b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
Xét thấy:
\(a+b\ge0\)
\(\left(a^2-b^2\right)\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)
\(a^2-ab+b^2\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)
Vậy nên ...................
PT
1
2 tháng 5 2018
Xét \(a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\)
\(=a^3\left(a+b\right)\left(a-b\right)-b^3\left(b-c\right)\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b-b^4-ab^3\right)=\left(a+b\right)a^4+\left(a^4+2a^3b+b^2a^2-2a^2a^2-2ab^3-a^3b+a^2a^2-2ab^3+b^4\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đpcm)
P/S cchs hơi chậm nhưng dừng chửi nhá
Nguyễn Hải Dương
BF
2
16 tháng 7 2018
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)
BF
16 tháng 7 2018
cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!
C
25 tháng 2 2020
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)
Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh
PM
5
S
13 tháng 1 2018
2, - ( a + b + c ) - ( b - c -a ) + ( 1 - a - b ) - ( c - 3b )
= -a - b -c - b + c + a + 1 - a - b - c + 3b
= (a-a) - (b+b+b) + (c-c) + (-a) + (-c) + 3b
= 0 - 3b + 0 + (-a) + (-c) + 3b
= (3b-3b) + (-a) + (-c)
= 0 + (-a) + (-c)
= (-a) + (-c)
3, ( b - c - 6 ) - ( 7 - a + b ) + c
= b - c - 6 - 7 + a - b + c
= (b-b) + (c-c) - (6+7) + a
= 0 + 0 + 13 + a
= 13 + a
6, 2a - { a - b [ a - b - ( a + b + c ) + 2b ] - c - b }
= 2a - { a - b [ a - b - a - b - c + 2b ] - c - b }
= 2a - { a - b [ ( a - a ) - (b+b) - c + 2b ] - c - b }
= 2a - { a - b [ 0 - 0 - 2b - c + 2b ] - c - b }
= 2a - { a- b [ (2b - 2b) - c ] - c - b }
= 2a - { a - b [ 0 - c ] - c - b }
= 2a - { a - b.(-c) - c - b}
= 2a - a - b.(-c) - c - b
= 1a - (-b).c - c - b
= a - (-b).c - c.1 - b
= a - [(-b) - 1].c - b
ko chắc lắm
13 tháng 10 2021
Bài 1: Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\b=dk\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{a}{a+c}=\dfrac{ck}{ck+c}=\dfrac{ck}{c\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)
\(\dfrac{b}{b+d}=\dfrac{dk}{dk+d}=\dfrac{k}{k+1}\)
Do đó: \(\dfrac{a}{a+c}=\dfrac{b}{b+d}\)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)
\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\a+b\ge0\left(gt\right)\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(1\right)\) đúng
Chứng minh cái gì cơ :v
Đề thiếu:)