Áp dụng bất đẳng thức Côsi tìm GTNN của
\(x+\dfrac{16}{x-1}\left(x>1\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
NT
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 7 2021
Lời giải:
ĐK: $x,y,z\geq 0$
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+1}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}}\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3\)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Thay vào pt $(1)$ thì suy ra $x=y=z=1$
HN
12 tháng 4 2017
Bài này mình từng giải rồi. Đề đúng phải là:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.
Tìm GTNN của \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Bài giải:
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}\left(1\right)\)
Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{6b-c-a-2}{8}\left(2\right)\\\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6c-a-b-2}{8}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}+\dfrac{6b-c-a-2}{8}+\dfrac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PS: Chép đề thì cẩn thận vô bạn.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2022
Cả 2 biểu thức này đều ko tồn tại GTNN
GTNN chỉ tồn tại khi có thêm điều kiện, với \(\dfrac{x^2}{x+3}\) thì điều kiện là \(x>-3\), còn \(\dfrac{x^2}{x-2}\) thì điều kiện là \(x>2\)
20 tháng 8 2017
Cái cậu Nguyễn Minh Tuấn kia đã không lm bài rồi lại còn yêu cầu người khác k nữa
\(x+\dfrac{16}{x-1}\\ =x-1+\dfrac{16}{x-1}+1\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(x-1+\dfrac{16}{x-1}+1\\ \ge2\sqrt{\left(x-1\right).\dfrac{16}{x-1}}+1\\ =2\sqrt{16}+1\\ =9\)
Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{16}{x-1}\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=16\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=4\\x-1=-4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)