Chứng minh rằng:
a) 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 < 1
b) 1/26 + 1/27 + 1/28 + ... + 1/50 = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ... + 1/49 – 1/50
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
0
VN
0
LD
2
11 tháng 8 2021
a: Ta có: \(A=1+3+3^2+3^3+...+3^{2015}\)
\(=\left(1+3\right)+3^2\left(1+3\right)+...+3^{2014}\cdot\left(1+3\right)\)
\(=4\cdot\left(1+3^2+...+3^{2014}\right)⋮4\)
b: Ta có: \(A=1+3+3^2+3^3+...+3^{2015}\)
\(=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2013}\left(1+3+3^2\right)\)
\(=13\cdot\left(1+3^3+...+3^{2013}\right)⋮13\)
28 tháng 6 2021
a) \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=25.5^n+26.6^n+8.8^{2n}\)
\(=5^n.51+8.64^n\)
Có \(64\equiv5\) (mod 59)
\(\Rightarrow64^n\equiv5^n\) (mod 59)
\(\Rightarrow8.64^n\equiv8.5^n\) (mod 59)
\(\Rightarrow5^n.51+8.64^n\equiv8.5^n+5^n.51\) (mod 59)
mà \(8.5^n+5^n.51=59.5^n\)\(\equiv0\) (mod 59)
\(\Rightarrow5^n.51+8.64^n\equiv8.5^n+5^n.51\equiv0\) (mod 59)
\(\Rightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)
b) \(4^{2n}-3^{2n}-7=16^n-9^n-7\)
Có \(16^n-9^n-7=\left(16-9\right)\left(16^{n-1}+...+9^{n-1}\right)-7=7\left(16^{n-1}+...+9^{n-1}\right)-7⋮\)\(7\) (I)
Có \(16\equiv1\) (mod 3) \(\Rightarrow16^n\equiv1\) (mod 3) mà \(7\equiv1\) (mod 3)
\(\Rightarrow16^n-7\equiv0\) (mod 3) mà \(9^n\equiv0\) (mod 3)
\(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮3\) (II)
Có \(9^n\equiv1\) (mod 8)\(\Rightarrow9^n+7\equiv8\) (mod 8)
\(\Rightarrow9^n+7⋮8\) mà \(16^n=2^n.8^n⋮8\)
\(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮8\) (III)
Do \(\left(3;7;8\right)=1\)\(,3.7.8=168\)
Từ (I) (II) (III) \(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮168\)
\(\Rightarrow\) Đpcm
28 tháng 6 2021
a) 5n+2+26.5n+82n+1=25.5n+26.6n+8.82n5n+2+26.5n+82n+1=25.5n+26.6n+8.82n
=5n.51+8.64n=5n.51+8.64n
Có 64≡564≡5 (mod 59)
⇒64n≡5n⇒64n≡5n (mod 59)
⇒8.64n≡8.5n⇒8.64n≡8.5n (mod 59)
⇒5n.51+8.64n≡8.5n+5n.51⇒5n.51+8.64n≡8.5n+5n.51 (mod 59)
mà 8.5n+5n.51=59.5n8.5n+5n.51=59.5n≡0≡0 (mod 59)
⇒5n.51+8.64n≡8.5n+5n.51≡0⇒5n.51+8.64n≡8.5n+5n.51≡0 (mod 59)
TA
12 tháng 5 2021
a) Giả sử `(x+1)^2 >= 4x` là đúng.
Có: `(x+1)^2 >=4x <=> x^2+2x+1>=4x`
`<=>x^2+1>=2x`
`<=>x^2-2x+1>=0`
`<=> (x-1)^2>=0 forall x`.
Vậy điều giả sử là đúng.
b) `x^2+y^2+2 >=2(x+y)`
`<=> (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1) >=0`
`<=>(x-1)^2+(y-1)^2>=0 forall x,y`
c) `(1/x+1/y)(x+y)>=4`
`<=> (x+y)/(xy) (x+y) >=4`
`<=> (x+y)^2 >= 4xy`
`<=> x^2+2xy+y^2>=4xy`
`<=> (x-y)^2>=0 forall x,y > 0`
d) `x/y+y/x>=2`
`<=> (x^2+y^2)/(xy) >=2`
`<=> x^2+y^2 >=2xy`
`<=> (x-y)^2>=0 \forall x,y>0`.
12 tháng 5 2021
a) Xét hiệu \(\left(x+1\right)^2-4x\) = \(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\)
=> \(\left(x+1\right)^2-\text{4x}\) \(\ge\) 0
=> \(\left(x+1\right)^2\ge\text{4x}\) (điều phải chứng minh)
b) xét hiệu \(x^2+y^2+2-2\left(x+y\right)\) = \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)
=> \(x^2+y^2+2-2\left(x+y\right)\ge0\)
=> \(x^2+y^2+2\ge2\left(x+y\right)\) (điều phải chứng minh)
c) Xét hiệu \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)-4\) = \((\dfrac{x+y}{xy})\left(x+y\right)-4=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\) \(\ge0\)(vì x>0,y>0)
=>\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\ge4\) (điều phải chứng minh)
d) Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy cho các số x>0;y>0 ta có
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2.\left(\dfrac{xy}{yx}\right)=2\)
=> \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\) (điều phải chứng minh)
Mình làm hơi tắt mong bạn thông cảm nhé
Chúc bạn học tốt
TV
0
DD
3
16 tháng 5 2016
hình như phân số cuối phải là 1/324
nếu là 1/324 thì tớ giải nè:
A = 1/4+1/16+1/36+1/64+1/100+1/144+1/196+1/256+1/324
= 1/4.(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/7^2+1/8^2+1/9^2) <1/4.(1+1/1.2+1/2.3+1/3.4+1/4.5+1/5.6+1/6.7+1/7.8+1/8.9)
= 1/4.(1+1-1/9)
= 1/4.17/9 = 17/36<18/36 = 1/2
=> A = 1/4+1/16+1/36+1/64+1/100+1/144+1/196+1/256+1/324<1/2
mình chỉ biết câu b thôi:
Ta biến đổi vế phải :
1-1/2+1/3-1/4+.....+1/49-1/50
=(1+1/3+1/5+....+1/49)-(1/2+1/4+1/6+.......+1/50)
=(1+1/2+1/3+.....+1/49+1/50)-2(1/2+1/4+1/6+......+1/50)
=(1+1/2+...+1/50)-(1+1/2+1/3+....+1/25)
=1/26+1/27+.......+1/50
Vậy 1/26+1/27+1/28+.....+1/50=1-1/2+1/3-1/4+......+1/49-1/50