Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ IM ⊥ AB tại M và IN ⊥ AC tại N.a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. C/m: ADCI là hình thoi.c) Đường thẳng BN cắt DC tại K....
Đọc tiếp
Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ IM ⊥ AB tại M và IN ⊥ AC tại N.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. C/m: ADCI là hình thoi.
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. C/m: \(\dfrac{DK}{DC}\) = \(\dfrac{1}{3}\).
a) Xét tứ giác AMIN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), N∈AC, M∈AB)
\(\widehat{AMI}=90^0\)(IM⊥AB)
\(\widehat{ANI}=90^0\)(IN⊥AC)
Do đó: AMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: IN⊥AC(gt)
AB⊥AC(ΔBCA vuông tại A)
Do đó: IN//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
I là trung điểm của BC(gt)
IN//AB(cmt)
Do đó: N là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác AICD có
N là trung điểm của đường chéo DI(D và I đối xứng nhau qua N)
N là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
Do đó: AICD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AICD có AC⊥DI(IN⊥AC, D∈IN)
nên AICD là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)