Cho ab+bc+ca=0. Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CP
0
TM
0
ZP
2
3 tháng 2 2017
Ta có: abc > 0 nên xảy ra 2 trường hợp hoặc là a,b,c đều dương (bài toán được chứng minh) hoặc trong 3 số sẽ có 2 số âm 1 số dương.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\\c>0\end{cases}}\)
Ta đặt: \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\) thì theo đề bài ta có
\(\hept{\begin{cases}c-x-y>0\\xy-cx-xy>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x+y\left(1\right)\\xy>cx+cy\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta có thể suy ra được: \(\hept{\begin{cases}cx>x^2+xy\\cy>y^2+xy\end{cases}}\)
\(\Rightarrow cx+cy>x^2+2xy+y^2\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) ta có: \(xy>cx+cy>x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow0>x^2+xy+y^2\) (sai)
Từ đây ta thấy rằng chỉ có trường hợp \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) là đúng
3 tháng 2 2017
Rõ rảng abc > 0 nên a,b,c phải khác 0
+ Giả sử trong a,b,c có 1 số bé hơn 0,vì vai trò a,b,c như nhau giả sử là a ta có
a < 0 ,do abc > 0 => bc < 0 do a(b + c) + bc > 0 => a(b + c) > -bc hay a(b + c) > 0 do a < 0 => b + c < 0
=> a + b + c < 0 mâu thuẫn với 1 giả thiết a + b + c > 0
+ Giả sử có 2 số nhỏ hơn không,tương tự giả sử là a và b ta có
a + b + c > 0 => c > 0 => abc < 0 mâu thuẫn
+ còn a,b,c đều nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên a + b + c < 0 mâu thuẫn với a + b + c > 0
Vậy bất buộc cả 3 a,b,c đều phải đồng thời lớn hơn 0
MK
1
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
VA
0
VA
1
24 tháng 8 2020
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3
KH
0
HL
0
neu a=b=c minh se giai dc