Question

[Pham Trong Bach]

Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r= 2 3 , độ dài đường sinh l=2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khí cắt hình quạt theo hình chử nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

A.  3 π 13 - 1 8

B.  3 13 - 1 8 π

C.  5 13 - 1 12 π

D.  π 13 - 1 9

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại H,F,D,E 

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

l A B = 2 πr = 2 π . 2 3 = 4 π 3

Lại có  l a b = α . O A ⇒ α = l a b O A = 4 π 3 : 2 = 2 π 3 = A O B ⏜

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

A B = O A 2 + O B 2 - 2 . O A . O B . cos A O B ⏜ = 2 2 + 2 2 - 2 . 2 2 - 1 2 = 2 3

Do M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB nên  A O B ⏜ ⇒ A O D ⏜ = 60 °

⇒ M H = 1 2 M N = 3 2

Do O D ⊥ A B  nên OD là tia phân giác của A O B ⏜ ⇒ A O D ⏜ = 60 ° . Xét tam giác vuông OMH có  O H = O M . cos 60 = 1 . 1 2 = 1 2

Xét tam giác OPQ có  cos P O Q ⏜ = O P 2 + O Q 2 - P Q 2 2 . O P . O Q = 2 2 + 2 2 - 3 2 2 . 2 . 2 = 5 8

Mà  cos P O Q ⏜ = cos 2 D O Q ⏜ = 2 cos 2 D O Q ⏜ - 1 = 5 8 ⇒ cos D O Q ⏜ = 13 4

Xét tam giác DOQ có:

Q D 2 + O Q 2 + O D 2 - 2 . O Q . O D . cos D O Q ⏜ = 8 - 2 13

Xét tam giác vuông DQF có

D F 2 = Q D 2 - Q F 2 = 8 - 2 13 - 3 2 2 = 29 4 - 2 13

⇒ D F = 29 - 8 13 2 = 4 - 13 2 2 = 4 - 13 2

⇒ H F = O D - O H - D F = 2 - 1 2 - 4 - 13 2 = 13 - 1 2 = M Q - N P

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên P Q = 2 πR → R = 3 2 π  

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

V = πR 2 . MQ = π 3 2 π 2 . 13 - 1 2 = 3 13 - 1 8 π