Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo,M là 1 điểm tùy ý.
Cm : véc tơ MA + vectơ MB+vectơ MC+vectơ MD =4 vectơ MO
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2021
Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
\(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MG}=0\)
\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn đường kính AG
Bán kính: \(R=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
1 tháng 9 2019
a) Phần thuận:
Vì \(AOBC\)là hình chữ nhật ; M là giao điểm của 2 đường chéo AB và OC
\(\Rightarrow MA=MO\)
Mà \(O;A\)cố định
\(\Rightarrow M\)thuộc đường trung trực của OA.
Vẽ đường trung trực của OA và cắt Ox tại H.
*) Giới hạn: Khi B tiến dần tới O thì M tiến dần tới H.
Nhưng \(B\ne O\)( để tạo thành hình chữ nhật \(AOBC\))
\(\Rightarrow M\ne H\)
Vậy quỹ tích điểm M thuộc tia Ht ( trừ điểm H )
b) Phần đảo :
Lấy M thuộc tia Ht\(\left(M\ne H\right)\)
Tia AM cắt Oy tại B.
Vẽ hình chữ nhật AOBC. Ta phải chứng minh M là giao điểm của 2 đường chéo.
Thật vậy,
Xét tam giác OAB có \(HM//OB\)( Vì cùng vuông góc với Ox )
\(HA=HO\)( vì Ht là đương trung trực )
\(\Rightarrow M\)là trung điểm của AB.
Mà AOBC là hình chữ nhật
\(\Rightarrow M\)là trung điểm của OC.
\(\Rightarrow M\)là giao điểm của 2 đường chéo.
c) Kết luận: Qũy tích điểm M là tia Ht, trừ điểm H ( Ht thuộc đường trung trực của OA )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
a.
E và F là trung điểm AB và CD nên: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}\)
G là trung điểm EF nên: \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AG}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DF}\)
\(=2\overrightarrow{AE}+2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\right)=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AF}=2\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=4\overrightarrow{AG}\)
b.
\(\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
c.
Từ câu b ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow4\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow4\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)
Hình bạn tự vẽ :
MA+MB+MC+MD=4MO
( Chèn điểm O)
VT= MO+OA+MO+OB+MO+OC+MO+OD
=4MO+(OA+OB+OC+OD)
= 4MO+ 0
= 4MO=VP(dpcm)