Question

[KAl(SO4)2·12H2O]

giải phương trình với điều kiện x thuộc R: \(\sqrt{4x^2+5x-1}-2\sqrt{x^2-x-1}=9x+3\)

nguồn: Bad Luck t2 :D

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Đặt \(\sqrt{4x^2+5x-1}=a;2\sqrt{x^2-x-1}=b\left(a\ge0,b\ge0\right)\Rightarrow a^2-b^2=9x+3\)

Ta thụ được hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2=9x+3\\a-b=9x+3\end{cases}\Rightarrow a^2-b^2=a-b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}}\)

Xét 2 trường hợp xảy ra:

TH1: \(a=b\Leftrightarrow9x+3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3}\left(lo\text{ại}\right)\)

TH2: Kết hợp \(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a-b=9x+3\end{cases}\Rightarrow2a=9x+4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{-4}{9}\\4\left(4x^2+5x-1\right)=81x^2+72x+16\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{-4}{9}\\65x^2+52x+20=0\end{cases}}\)(*)

Hệ điều kiện (*) vô nghiệ do phương trình \(65x^2+52x+20=0\)vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Answer 2

[Nguyễn Minh Đăng]

đk: \(\orbr{\begin{cases}x\ge\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x\le\frac{-5-\sqrt{41}}{8}\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x^2+5x-1}=a\\\sqrt{x^2-x-1}=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2+5x-1=a^2\\4\left(x^2-x-1\right)=4b^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2-4b^2=9x+3\)

Mà \(a-2b=9x+3\)

=> \(a^2-4b^2=a-2b\)

<=> \(\left(a-2b\right)\left(a+2b\right)-\left(a-2b\right)=0\)

<=> \(\left(a-2b\right)\left(a+2b-1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a-2b=0\\a+2b-1=0\end{cases}}\)

Nếu: \(a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow9x+3=0\)

\(\Leftrightarrow9x=-3\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\left(tm\right)\)

Nếu: \(a+2b-1=0\)

\(\Rightarrow a+2b=1\) , mà \(a-2b=9x+3\)

=> \(2a=9x+4\)

<=> \(2\sqrt{4x^2+5x-1}=9x+4\)

<=> \(4\left(4x^2+5x-1\right)=81x^2+72x+16\)

<=> \(65x^2+52x+20=0\)

<=> \(65\left(x^2+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}\right)+\frac{48}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow65\left(x+\frac{2}{5}\right)^2=-\frac{48}{5}\) (vô lý)

Vậy \(x=-\frac{1}{3}\)

Theo quan điểm cá nhân là vậy._.