Cho a,b, t/m \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right)\left(\sqrt{b^2+2011}+b\right)=2011\)
C/m \(\left(\sqrt{b^2+2011}+b\right)=\left(\sqrt{a^2+2011}-a\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 12 2019
\(\left(a-\sqrt{2011}\right)\left(b+\sqrt{2011}\right)=14\)
\(\Leftrightarrow ab+\sqrt{2011}\left(a-b\right)=2025\)
Có: a,b nguyên => a-b nguyên
=> VP=VT <=> \(\sqrt{2011}\left(a-b\right)\)nguyên
=> a-b=0 <=> a=b
=> pt <=> a^2=2025
Làm nốt nhé.
AN
20 tháng 10 2019
Nhân 2 vế với \(\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\) ta được:
\(\left(x^2-2011-x^2\right)\left(y+\sqrt{2011+y^2}\right)=2001\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2011\left(y+\sqrt{2011+y^2}\right)=2011\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{2011+y^2}=\sqrt{2011+x^2}-x\)(1)
Tương tự nhân 2 vế với \(\left(y-\sqrt{2011+y^2}\right)\) ta được:
\(x+\sqrt{2011+x^2}=\sqrt{2011+y^2}-y\)(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(x+y=-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Rightarrow T=-y^{2011}+y^{2011}=0\)
DA
1
28 tháng 11 2019
chỗ \(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\)phải là \(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)
BA
28 tháng 11 2019
a, Ta có
\(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}\)
mà \(\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng bđt ta có
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
\(=\frac{1}{\left(2\cdot1+1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\left(2\cdot2+1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2\cdot2011+1\right)\left(\sqrt{2011}-\sqrt{2012}\right)}\)
\(< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\)..
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2012}}=\frac{\sqrt{2012}-1}{\sqrt{2012}}=\frac{2011}{\sqrt{2012}\cdot\left(\sqrt{2012}+1\right)}\)
\(=\frac{2011}{2012+\sqrt{2012}}< \frac{2011}{2013}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
Nhân 2 vế giả thiết với \(\sqrt{x^2+2011}-x\) và rút gọn ta được:
\(y+\sqrt{y^2+2011}=\sqrt{x^2+2011}-x\) (1)
Nhân 2 vế giả thiết với \(\sqrt{y^2+2011}-y\) và rút gọn ta được:
\(x+\sqrt{x^2+2011}=\sqrt{y^2+2011}-y\) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2):
\(x+y+\sqrt{x^2+2011}+\sqrt{y^2+2011}=\sqrt{x^2+2011}+\sqrt{y^2+2011}-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)
22 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-k-1}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\\ \Leftrightarrow\text{Đặt}\text{ }A=\dfrac{1}{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\dfrac{1}{4021\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2010}\right)}< \dfrac{1}{2\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+\dfrac{1}{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\dfrac{1}{2\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2010}\right)}\\ \Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2011}-\sqrt{2010}\right)\\ \Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2011}-1\right)< \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2011}-1}{\sqrt{2011}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2011}}\right)\)
Ta có : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}-a\right)\)
\(=\left(\sqrt{a^2+2011}\right)^2-a^2\)
\(=a^2+2011-a^2=2011\)
Nên : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}-a\right)=2011\)
Mà theo bài ta có : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}+b\right)=2011\)
Nên : \(\sqrt{a^2+2011}+b=\sqrt{a^2+2011}-a\) ( đpcm )